同济大学概率论与数理统计复习题1(2014)

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22(15)?6.2621,?0.975(15)?27.4884 ?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,t0.975(15)?2.1314,?0.025一. 填空题

1.设 P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,P(B?A)?0.1,则P(AB)? ， P(AB)? ，P(A?B)? 。 2.设X服从参数为1的指数分布，则当 k= 时，P(k?X?2k)?0.25。

?1,2?x?e?1?3.已知X的密度函数为 f(x)??x?1 ，则 Y?X2的密度函数为fY(y)? 。

??0,其他24.设 X1,?,X6 是取自正态总体N(0,?)的简单随机样本，记 Y?c(X1?X3?X5)X?X?X222426，

5.其中c为不等于零的常数，则当c? 时，Y服从自由度为 的 分布。

??1?x,?1?x?1二．设随机变量X,Y相互独立且服从相同的分布，X的密度函数为f(x)?? ，

??0,其他记A??X?0.5?,B??X?0.75???Y?0.5?，求 P(A) 和 P(A?B)。 三．设随机变量X1,X2,X3相互独立且服从相同的分布,P(X1?1)?12,P(X1?0)?。 33?1,Xi?X3?1记随机变量 Yi??， i?1,2 。

0,X?X?1i3?（1）求 (Y1,Y2) 的联合概率函数； （2）分别求Y1,Y2的边缘概率函数； （3）问：Y1,Y2是否相互独立？请说明理由；（4）求Z?(YY12)的概率函数。

2四．设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?2xy?x?,0?x?1且0?y?2;f(x,y)??3

??0,其他(1) 分别求X,Y的边缘密度函数; （2）求条件密度函数fYX(y0.5),fXY(x1)；

（3）求随机变量X与Y的协方差cov?X,Y?，并问：X与Y是否不相关？请说明理由；（4）求概率P(0.5?X?1,1?Y?2)。 五．假设某条生产线组装一件产品所需时间X服从指数分布，且E(X)?10（分钟）。各件产品所需的组装时间相互独立且服从相同的分布。 试用中心极限定理求该生产线组装100件产品所需时间在15小时到20小时之间的概率.

六．设某种汽车轮胎的寿命X（单位：万公里）服从正态分布N(?,?)，现对16只轮胎做寿命试验， 得到试验数据（单位：万公里）为x1,?,x16，并由此算出

2?xi?116i?75.2,?xi2?354.79。

i?116分别求?和?2的置信水平0.95的双侧置信区间。（结果保留三位小数） 七.设X1,X2?,Xn是取自总体X的简单随机样本，n?2，X的密度函数为

???,x?? f(x)??x2 ，其中 ? 未知。

??0,其他（1） 求?的极大似然估计量??；

?； （2） 将?的极大似然估计量??修正为?的无偏估计量???是否为?的相合估计量？请说明理由. （3） 问：在（2）中求出的?的无偏估计量??