人教版高中数学优质教案5：3.3.1 函数的单调性与导数 教学设计

人教版高中数学选修1-1教学设计

3.3.1 函数的单调性与导数

一、教学设计： 内容和内容[解析]

该部分的内容主要讲述的是函数的单调性与导数之间的关系，为函数的单调性研究提供了一个更为便捷的方法.

在学习本节课之前，学生在必修1的《函数性质》内容中学习了函数单调性的定义以及利用图像得出单调区间的方法，另外还学习了导数的几何意义就是函数图象上的点所在的切线斜率.

在函数单调性定义中提到：在定义域中的某个区间内任取两个不相等的自变量x1,x2，通过求f(x1)与f(x2)的大小关系可以判断函数的单调性.同时注意到导数的定义中的描述：

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)f(x1)?f(x2)?0时，f(x)为增函数；.将导数的定义结合

x?x0x1?x2f(x1)?f(x2)?0时，f(x)为减函数.可以判定f(x)在某个区间上如果满足f'(x)?0，

x1?x2则f(x)在该区间上为增函数；反之，如果f'(x)?0，则f(x)在该区间上为减函数.

另外，相比于利用单调性定义判定f(x1)与f(x2)的大小关系来确定函数单调性的繁琐运算，求导函数的过程要简洁许多，这就为学生判断一些相对比较复杂的函数的单调性提供一个有力的方法.

目标和目标[解析] 1．知识与技能目标：

（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；

（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系； （3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标： （1）利用函数f(x)?x?1回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法； x（2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果； （3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；

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（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；

（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；

（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结. 3．情感、态度与价值观目标：

通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.

教学过程 环节 合作探究问题设计 例1：已知f(x)?x?设计意图 教师活动 教师将问题和[答案]都放在幻灯片中投影给学生看.先让学生阅读题目并进行回顾.然后再一行一行的投影出解答的过程，教师辅助以讲解，让学生在讲解的过程中回顾起高一时单调性问题的解答方法.最后教师再对以前所学的单调性的判断方法进行总结并板书： 1．利用单调性定义判断； 2．利用图象判断. （在讲解的过程中适时的帮助学生梳理解答要点.） 学生活动 学生努力回忆高一时的单调性的判断方法，并积极和同组的同学分享每一步骤的求解思路，并及时梳理问题解答过程中的步骤： 1．定义法： 设值、作差、化简、定号、下结论. 2．图象法： 从左往右看：上升为增，下降为减. 1(x?0)， x通过对必修1中的单调性判断方法的（1）用单调性的定义，求f(x)的单调递增区间； （2）作出f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间. 解：（1）任取x1?x2?0，则 回顾，可以让学生对当时的单调性判断的方法进行梳理，也便于学生在学习本课时内容的时候，将所学到的知识与以前进行相比，能f(x1)?f(x2)?(x1?知识11)?(x2?) x1x2xx?1) 得f(x1)?f(x2)?(x1?x2)(12回顾 x1x2由x1?x2?0，得x1?x2?0，x1x2?0 故当x1?x2?1时，x1x2?1?0恒成立 够更好的体现得到f(x1)?f(x2)?0 即f(x)在(1,??)上为增函数. （2）作出f(x)的图象如图所示， 导数在解决单调性问题时的优越性，提升学生学习导数的热情. 2

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由图可得，f(x)的增区间为(??,?1)， 如果出于 教师一条条的放映处题目，让学生依序解答每道题，切忌一次性将所有的问题投影出来，使学生产生畏难心理.然后观察学生的活动情况，根据学生的反应作出是否放映下一个问题的判断.同时对学生学习过程中存在的问题及时给予点拨. 学生通过阅读题目要求，对图象进行独立研究，将所得到的结果与其他组员分享，并根据所得结论的异同进行及时的纠正或讨论. (1,??)，减区间为(?1,0)，(0,1) 教学进度的考例2：已知函数f(x)的图象如图所示，虑，教师可以且f'(x)是f(x)的导函数. 直接用几何画板向学生演示f(x)图象中各个点的切线 （1）写出f(x)的单调增区间； （2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论； （3）写出f(x)的单调减区间； （4）在你所写出的单调减区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的 结论； （5）结合切线的斜率与导数的关系，求斜率特征，并给出相应的结论.但是这样只能使学生成为课堂教学的旁观者.通过让学生自己在纸上作出几条切线观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高 学生课堂的参与度，即使自（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系. 解：（1）增区间是：(?1,1)； 己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他在学生得出猜想之后，学情预设：学生教师再利用几何画板多次演示切点所在的单调区间对斜线斜率的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解. 在此处会出现端点处作切线，得到导函数在单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠. f'(x)?0与f'(x)?0的解集； 3

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（2）增区间上的点所对应的切线斜率为正数； （3）减区间是：(??,?1),(1,??)； （4）减区间上的点所对应的切线斜率为负数； （5）f'(x)?0的解集为(?1,1)，有相同的结论，则可以强化他对自己结论的信心；反之，则能激发他找出结论中的问题所在的 f'(x)?0的解集为(??,?1)U(1,??)； 动力. 小结1：当f'(x)?0时，则f(x)为增函数；当f'(x)?0时，则f(x)为减函数. 本题由原例3：求下列函数的单调区间： 来的图象分析（1）f(x)?x?2x?3； （2）f(x)?2x?3x?12x?1； 深入应用 （3）f(x)?x?3x 解：（1）∵f(x)?x?2x?3 ∴f'(x)?2x?2 当f'(x)?0时，则x?1 当f'(x)?0时，则x?1 故f(x)的增区间为(1,??)，减区间为(??,1). 深入应用 （2）∵f(x)?2x?3x?12x?1 ∴f'(x)?6x?6x?12 即f'(x)?6(x?2)(x?1) 23223322 教师先让学生自主解答，并巡视各小组的解答情况，对薄弱学生给予必要的提示，鼓励学生利用两种方法解答题目. 教师在巡视过程中要有目的的寻找一个字迹清楚，过程完整的学生在黑板上写 出自己的解答结果作为示范，规范学生的解题步骤，一开始就培养学生良好的表达习惯. 接着从其他组的成员中抽取两个学生学生自主解答或者向老师或同组同学提出解答过程中所存在的问题，争取课堂上能够尽快掌握利用导数求解单调区间的方法. 学情预设： 此处学生要顺利解决必须弄清楚两个问题： 1．求导函数； 过渡到对函数[解析]式分析.以二次函数作为桥梁，重点处理三次函数的单调性判断问题，主要是由于二次函数 的图象已为大多数学生所熟识，学生在解答过程中可利用多种方法互相核对自己所得结果的正确性，接着把其完成剩余两题的解答，2．解不等式 如果学生中有采用代跨过这两个问 4