四进五强化班数学讲义

雅博培训学校暑假四进五强化班数学讲义

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第3讲：数列的认识

专题引导：

有一列数1，2，3，4，5??；请问这列数的第9个数是多少？第99个数是多少？

分析：从1开始按照自然数的顺序排列，第1个数是1，第2个数是2??第9个数就是9，第99个数是99。那么像这样的一列数字就叫做数列。 问题：究竟什么是数列？数列到底有哪些性质呢？

一、数列的系列概念

1、数列的定义：按一定规律排列的一列数叫数列。 含义：数→按规律→列出

2、数列的项与项数：

数列中的每个数叫做数列的项。数按顺序排列于数列的第几位叫第几项。排在第一位的数叫做这个数列的第1项通常叫首项，排在最后一位的叫末项。例：1，3，5，7??5位于数列的第3项，也就是“5”的项数为3。这个“几”叫做项数。 练习：1，3，5，7，9??中11，49的项数是几？

二、数列的基本性质及按性质分类。 1、数列性质的观察 例：1，3，5，7，9??

性质分析①整数②逐渐增大③相邻两项的差相等④奇数⑤无限多项 练习：1，4，7，10，13有哪些性质呢？

2、数列的分类方法

①按数列中项的个数来分类：

项数有限的数列为“有限数列”，如数列：1，3，5，7，9，11，13??101；共512项，所以它是“有限数列”；

项数无限的数列为“无限数列”，如数列：1，3，5，7，9??有无数多个项，所以 它是“无限数列”。

②按数列中项的变化规律来分类：

从第2项起每一项都大于它的前一项的数列叫做“递增数列”； 如：1，2，3，4，5，6，7，8??100，它是递增数列。 从第2项起每一项都小于它的前一项的数列叫做“递减数列”；

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如：100，99，98，97??2，1

数列中各项都相等的数列叫做“常数列”

如：1，1，1，1，1??1，这个数列的每项都是“1”，所以它是常数列。

3、数列的重要类型：

①等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个差叫做等差数列的公差。

如：最常见的等差数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8??，自然数列。每相邻两项，后项减前项的差均为1，所以它是等差数列。

练习：请同学们判断，下面的数列是不是等差数列，对的打“√”，错的打“×”。 （1）数列1，3，5是等差数列。

②递推数列：

一般地，具有某递推关系的数列，就叫递推数列。例如，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89??这个数列从第3项起每项等于前两项之和，那么这就是它的递推关系，这就是一个递推数列。我们通常把这个数列叫做斐波拉契数列。

③周期数列：数列的各项呈周期性（有规律反复出现）变化的数列叫做周期数列：如，1，2，3，4，1，2，，3，4，1，2，3，4??数列由项“1”，“2”，“3”，“4“有规律反复出现而形成。所以它是周期数列。

三、数列性质的应用。

例：观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 （1）5，9，13，17， ， 。 （2）1，4，9，16， ， 。 （3）4，5，7，11，19， ， 。

分析：各个数列的排列规律，一般是按顺序依次对这个数列中相邻的数进行相同的四则运算，根据计算结果进行比较，从中找到规律。

（1）依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是4。故后两空依次填21，25。 （2）由于1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，因此，后两个数应分别为5×5=25，6×6=36。

（3）由于5=4+1，7=5+2，11=7+4，19=11+8，观察加上的1，2，4，8这个数列，这个数的2倍便是它后面的数。因此，两个空应分别填16+19=35，32+35=67。

（ ）

（2）数列2，5，8，11，14，17不是等差数列。 （ ）

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