当前位置：首页 > 高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法
例6 计算积分 I??1dy?1edx??1dy?edx.
42212yyx1yyxy解 ??edx不能用初等函数表示
yx?先改变积分次序.
131e. 原式?I??1dx?2edy??1x(e?ex)dx ?e?x82221xyxy?xy?x2
[小结]
二重积分在直角坐标下的计算公式
??Df(x,y)d???dx?adb?2(x)?1(x)f(x,y)dy.［X－型］
??f(x,y)d???Dcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx.［Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
[作业]P289 3、4、5
第二节 曲线积分
1．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义
定义：设L为xoy平面内的曲线弧，f(x,y)是L上的有界函数,把L分成n
个小弧段: Δs1，Δs2，…，Δsn，其中Δsi（i=1,2,…n）也表示第i个小弧段的弧长. 记λ＝
max1?i?n?f(?,?)iiΔ{Δs},在每个小弧段Δs上任取一点（ξ，η）,作和式
iiiii?1nsi,如和式极限Δsi存在,且极限值与L的分法和点（ξi，ηi）在Δsi上的取法无关,则称此极限值为函数?(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作?Llim?f(?,?)??0i?1iinf(x,y)ds,即?L?f(?,?)f(?i,?i)dslim??0i?1iiΔsi称f(x,y)为被=
n积函数,L为积分曲线弧.
注1:同前面一样,并非任一个函数f(x,y)在L上的对弧长的曲线积分都是存
在的.但若f(x,y)在L上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定f(x,y)在L上连续.
?(x,y)ds注2:显然物体M的质量为:M=?L
注3:类似地,我们可定义f(x,y,z)对于空间曲线弧?的曲线积分:
??f(x,y,z)ds =
lim?f(?i,?i,?i)?si??0i?1n
f(x,y)ds注4:若L为闭曲线,则f(x,y)在L上的对弧长的曲线积分记为?L
性质1.若
?Lfi(x,y)dsniL(i=1,2…n)存在,C
2i(i=1,2,…n)为常数,则
??cf(x,y)dsLiii?n=
?c?i?1fi(x,y)ds性质2:如按段光滑曲线L由曲线L1,L,…,L
n首尾相接而成,且
?Lif(x,y)ds性质
(i=1,2,…n)都存在,则?LLf(x,y)ds=i?1??nLif(x,y)ds
3:若?f(x,y)dsg(x,y)ds?,都存在,且在
LL上f(x,y)?g(x,y),则
?Lf(x,y)ds性质
??Lg(x,y)ds4:若
?L
f(x,y)ds
存在,则
?Lf(x,y)ds也存在,且有
?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds性质5:若?L存在,L的弧长为S,则存在常数C,使得?L=CS 二.第一型曲线积分的计算法
我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:
定理:设曲线L的方程为:x??(t),y??(t),??t??,其中?(t),?(t)在??,??上
具有连续的一阶导数,
f(x,y)为
22L上的连续函数,则有
=??
证:详细的证明书上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用s?s(t)来表示L上的以??,t?为取值区间所对应部分的弧长,则有
L?f(x,y)ds?f??(t),?(t)????(t)?????(t)?dts?s(t)=??t[??(t)]2?[??(t)]2dt.
两边求微分,得
ds?[??(t)]2?[??(t)]2dt进而: 又当(x,y)在L上变化时,相应地t在??,??上取值,故
f(x,y)ds?f[?(t),?(t)][??(t)]2?[??(t)]2dt??LLf(x,y)ds1:=??=?c?=??若
?f??(t),?(t)????(t)?????(t)?dt22注L的方程 为
为
. (注:并非严格的证明) y??(x)x?[?,?],
则
f(x,y)dsf[x,?(x)]1?[??(x)]2dxL
的
方
程
若
x??(y),
y?[c,d],则
?Lf(x,y)dsd
2:若空间曲线?的方程为: x??(t),y??(t),z??(t),t?[?,?].则有
f[?(y),y]1?[??(y)]2dy=??
3:定理.注1.2中的定积分的上下限,一定满足:下限?上限.这是因为,在这里的L(或?)是无向曲线弧段,因而单从L的端点看不出上下限究竟是什么.这就要从
?slimL(或?)的方程的形式来考虑.又s?(t)>0??t?0?t>0
L?f(x,y,z)ds?222f??(t),?(t),?(t)????(t)?????(t)?????(t)?dt?s/?t>0.此时若视?s为L上某一段弧的弧长,应有
?s>0??t>0.这说明此时t的变化是由小到大的.而这里?s正是?si的一般形状,
从而当?t很小时,
故下限?上限.
?x?acost22?(x?y)dsy?asint??t???L[例1]: 设L是半园周: 0. 计算
2223a(?asint)?(acost)dtadt3解: ?L=?0=?0=a?
2233x?y?z?a?[例2]: 设为球面被平面x?y?z?0所截的圆周,计算
(x2?y2)ds??2x?ds?.
2x?ds?解:根据对称性知
=??y2ds=
2z?ds??
12xds??=31222(x?y?z)ds??=322aa232?a.?.2?aads??=3的弧长=3=3
第二型曲线积分
第二型曲线积分的概念与性质
这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力
F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用沿平面曲线L运动,求当质点从L的一端点A
?移动到另一端点B时,力F(x,y)所做的功W.(这里假设P(x,y),Q(x,y)在L上连续)
首先,对有向曲线L作分割:用点M1,M2,…,Mn?1与M0=A,Mn=B将L分成n个小段Mi?1Mi(i=1,2…n).
max以?si表示其弧长.记该分割的细度为λ＝1?i?n{Δsi},当?si很小时,有向的小
??弧段Mi?1Mi可用有向的直线段Mi?1Mi来代替: Mi?1Mi?Mi?1Mi=?xii+?yij,其中?xi=xi?xi?1,?yi=yi?yi?1.而(xi?1,yi?1),(xi,yi)分别为Mi?1与Mi点的坐标.又在
Mi?1Mi???上任取一点（ξi，ηi）?Mi?1Mi.当?si很小时,由于P(x,y),Q(x,y)在L上
??连续,故可用在（ξi，ηi）点处的力F(?i,?i)=P(?i,?i)i+Q(?i,?i)j来近似代替
Mi?1Mi?上其它各点的力,因此变力F(x,y)在小弧段Mi?1Mi上所作的功?Wi,就近
F(?i,?i)???似地等于常力
?沿
Mi?1Mi所做的功.故有
?Wi?F(?i,?i).Mi?1Mi=P(?i,?i)?xi+Q(?i,?i)?yi
所以 W=
??W?[P(?,?)?x?Q(?,?)?y]ii?1nn?iiiiiii?1.
.
i?1且当??0时,有W=
2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义
lim?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]??0n定义:设L是xoy面上从点A到点B的有向光滑曲线, P(x,y),Q(x,y)在L上有界,把L分成n个小弧段Δs1，Δs2，…，Δsn，其中Δsi（i=1,2,…n）也表示第i个小弧段的弧长.在Δsi(i=1,2,…n)上任取一点（ξi，ηi）,做和式
n?[P(?,?)?x?Q(?,?)?y]iiiiiii?1,其中?xi和?yi是?si分别在x轴和y轴上的投影.记
nλ＝1?i?n{Δsi},如果极限
maxlim?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]??0i?1存在,且极限值与L的分
法及点（ξi，ηi）在Δsi上的取法无关,则称此极限值为函数P(x,y),Q(x,y)在有
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