高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法

y1Do12x [小结]

二重积分的定义（和式的极限）

二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质

第二节 二重积分的计算法（重点+难点）

利用直角坐标系计算二重积分

如果积分区域为：a?x?b,?1(x)?y??2(x). [图形见课件] ［X－型］

y??2(x)Dy??2(x)Dy??1(x)y??1(x)ab

ab

其中函数?1(x)、?2(x)在区间 [a,b]上连续.

???f(x,y)d?的值等于以D为底，以曲面z?f(x,y)为曲顶柱体的体积．D应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,[图形见课件] 得 ??f(x,y)d???dx?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy. z

z?f(x,y)yA(x0)y??2(x)a0xby??(x)1x

如果积分区域为：c?y?d,?1(y)?x??2(y). ［Y－型］

ddx??1(y)D

x??1(y)D

x??2(y)x??2(y)cc

d??f(x,y)d???Dcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx.

X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割.

在分割后的三个区域上分别使用积分公式 [图形见课件] ???????????.

DD1D2D3D3D1D2

例1 改变积分 ?dx?011?x0f(x,y)dy的次序.

11?y00[板书]解 先画图，积分区域如图 ，原式??dy?

f(x,y)dx.

y?1?x

例2 改变积分?dx?012x?x20f(x,y)dy??dx?112?y022?x0f(x,y)dy的次序.

[板书]解 积分区域如图，原式??dy?1?1?y2f(x,y)dx

y?2?xy?2x?x2.

例3 改变积分?dx?02a2ax2ax?x2f(x,y)dy(a?0)的次序.

[板书]解

2aaa2a

y2y?2ax?x? y?2ax?x2 ?x?a?a2?y2

2a原式=?dy?y0aa?a2?y222af(x,y)dx??dy?0a2aa?a2?y2f(x,y)dx??dy?y2f(x,y)dx.

a2a2a2a例4 求??(x2?y)dxdy，其中D是由抛物线y?x2和x?y2所围平面闭区域.

D?y?x2解 两曲线的交点??(0,0),(1,1), 2?x?y22 ?dx(x?y)dy (x?y)dxdy2????1x0xD1133??[x2(x?x2)?(x?x4)]dx ?. 02140例5 求??x2e?ydxdy，其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形.

D2解 ??e?ydy无法用初等函数表示

2? 积分时必须考虑次序

??xeD2?y2dxdy??dy?xe001y2?y2dx??e01?y22112y3?y2y?dy??e?dy2?(1?). 06e36