高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法

第八章 多元函数积分法

教学目的：掌握二重积分的概念、性质、计算。 教学重点：二重积分的计算。 教学难点：二重积分的应用 第一节 二重积分的概念与性质

一、问题的提出[让学生观察以下图形，得出特点] 1、曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体

z?f(x,y)D

求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法．[图形见课件,通过flash动画演示] 步骤如下：

先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲

顶柱体的体积，曲顶柱体的体积V?lim?f(?i,?i)??i.

??0i?1n2、求平面薄片的质量

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为

?(x,y)，假定?(x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？

将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和

近似等于薄片总质量

M?lim??(?i,?i)??i.

??0i?1ny(?i,?i)? ??iox

二、二重积分的概念[见课本236页] 定义 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域??1，??2,?，??n，其中??i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个??i上任取一点(?i,?i)，作乘积 f(?i,?i)??i(i?1,2,?,n)， 并作和

?f(?,?)??，

iiii?1n如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分， 记为??f(x,y)d?，即??f(x,y)d??lim?f(?i,?i)??i.

DDn??0i?1对二重积分定义的说明：

(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.

(2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．

当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，

yD o 则面积元素为d??dxdy，故二重积分可写为??f(x,y)d????f(x,y)dxdy

DDx

三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质，了解，证明略） 性质1 当 k为常数时，??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?.

DD性质2 ??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d?.

DDD性质3 对区域具有可加性(D?D1?D2)

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?.

DD1D2性质4 若?为D的面积，????1?d????d?.

DD性质5 若在D上f(x,y)?g(x,y),则有 ??f(x,y)d????g(x,y)d?.

DD特殊地

??f(x,y)d????DDf(x,y)d?.

性质6 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，?为D的面积，则m????f(x,y)d??M?（二重积分估值不等式）

D性质7 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，? 为D

的面积，则在D上至少存在一点(?,?)使得 ??f(x,y)d??f(?,?)??（二重积分

D中值定理）

例1 不作计算，估计 I???eD(x2?y2)x2y2d?的值，其中D是椭圆闭区域： 2?2?1

ab(0?b?a).

[板书]解 区域D的面积?? ab? 在D上 ?0?x2?y2?a2,?1?e0?ex由性质6知 ????e(xD22?y2?ea,

22?y2)d????ea,ab? ???e(xD2?y2)d?? ab?ea.

2例2 估计I???Dd?x?y?2xy?161(x?y)?1614222的值，其中D： 0?x?1,0?y?2.

[板书]解 ?f(x,y)?,区域面积??2,

在D上f(x,y)的最大值M?f(x,y)的最小值m?(x?y?0)

221(x?1,y?2) 故?I? ?0.4?I?0.5.

545132?42?例3 判断

r?x?y?122ln(x?y)dxdy的符号. ??[板书]解 当r?x?y?1时, 0?x2?y2?(x?y)2?1, 故 ln(x2?y2)?0; 又当 x?y?1时, ln(x2?y2)?0, 于是

22ln(x?y)dxdy?0. ??r?x?y?1例4 比较积分??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]2d?的大小, 其中D是三角形闭

DD区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).

[板书]解 三角形斜边方程x?y?2 在D内有 1?x?y?2?e, 故 ln(x?y)?1, 于是ln(x?y)??ln(x?y)?,

2因此 ??ln(x?y)d??D2[ln(x?y)]d?. ??D