当前位置:首页 > 高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法
Fx·x?(t)+ Fy·y?(t)+ Fz·z?(t)=0
令t=t0得
?Fx(P0)?x?(t0)?Fy(P0)?y?(t0)?Fz(P0)?z?(t0)?{Fx(P0),Fx(P0),Fx(P0)}?S?0 取n={Fx(P0),Fy(P0),Fz(P0)}
?? ∴任一曲线的切向量s都垂直于固定向量n,且在同一平面上。
?∴n为?在P0点法线 ∴切平面方程:Fx?(x?x0)?Fy?(y?y0)?Fz?(z?z0)?0
y?y0x?x0z?z0法线:Fx(Po)=Fy(P0)=Fz(P0)
?ffynx2.显函数的曲面:z=f(x,y),(,连续且不同时为0)则法向量={-fx,
-fy,1}或{fx,fy,-1}
fyfx1?????nnnn注:取0={-,-,}?{cos?,cos?,cos?}称cos?,cos?,cos?为n的
?n方向余弦。且0的方向向上。即cos??0
?【例】:(03-I)求曲面z=x+y与平行于x-y+2z=0的切平面方程
?x?y-2zn?解:令F(x,y,z)=,={2x0,2y0,-1}
22?n∴ ={2,4,-1},z0=5。P0(1,2,5)
2x02y0?12=4=?1?x0 =1,y0=2。
∴ 切平面方程:2x+2y-z=0
第七节 多元函数极值
一.无条件极值
??驻点 1、在前面学习一元函数极值时:极值点???驻点,? 极值点可能是导数为0的点或导数不存在的点,∴极值点????极值点,y=x3在x=0点为驻点但非极值点。 驻点???2、二元函数极值(推广):
若对?P?U(Po)。都有f(P) 定理1:(必要条件)设z=f(x,y)的偏导数存在,(x0,y0)为f(x,y)的极值点,则 不等不等不等fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=的点为f(x0,y0)的驻点。 证明:不妨设(x0,y0)为极大值,即?(x,y)?U(Po)都有f(x,y) 对于y=y0,x?x0,则f(x,y0) ??驻点 【注】:极值点??〖反例〗:(1)f(x,y)=xy,(0,0)是其驻点,但非其极值点。 (2)极值点可能是驻点,也可能是偏导数不存在的点。 定理2:(充分条件)设z=f(x,y)在(x0,y0)有连续的二价偏导数。(x0, ff y0)为f(x,y)的驻点,令A=fxx=(x0,y0)B=xy(x0,y0)C=yy(x0,y0)则: 当AC-B2>0时(x0,y0)为极值点,且A<0时为极小值点,A<0时为极大值点。 AC-B2=0 时可能有极值点也可能没有极值点 AC-B2>0时 (x0,y0)不是极值点 【例】:z?sinx?cosy?cos(x?y),0 不等?zx?cosx?sin(x?y)?0?解:求驻点:?zy??sinx?sin(x?y)?0 解得:驻点(?/3,?/6) A=fxx(?/3,?/6)=-3,B=3/2,C=-3, 由于AC—B2=3—3/4>0,从而(?/3,?/6)为其极值点,又A<0故为极大值点且极大值:z(?/3,?/6)=33/2 二、最大值与最小值(最值) ??极大值 我们在高等数学上册知道:在一元函数中最大值??[(1)当最值在区间内部取得时,一定为极大值,而在端点取得最值一定不是极值] 二元函数:M,m的求法:先求出区域的内部的所有可能极值(驻点及所有偏导数不存在的点)并计算函数值,最后比较这些函数值的大小,最大的为M, 不等最小的为m。 【例】:(95—IV)时z=x2y(4-x-y)D由x轴,y轴,x+y=6所围成,求z在D上的最大值和最小值(M,m)。 ?z??2xy(4?x?y)?x2y?0??x???z?x?222?x(4?x?y)?xy?0?????y??y?1 解:(1)在D的内部:且z(2,1)=4(不该计算A,B,C) (2)在OA,OB上,有y=0或x=0, ∴z=0 (3)在线段AB上,y=6-x,且0?x?6, 代入z,则z=2x3-12x2, ?∴zx=6x2—24x=0?x=0(舍)或x=4, ∴ y=2,∴z(4,2)=-64 综上:M=4,m=-64。 三、条件极值——拉格朗日数乘法 问:设f(x,y),?(x,y)有连续的偏导数。?x,?y不同时为0,求z=f(x,y)在?(x,y)=0条件下的极值? 解:设(x0,y0)上z=f(x,y)在?(x,y)=0条件下的极值。 则?(x0,y0)=0,由于?x(x0,y0),∴不妨设 ?y(x0,y0)不同时为0, ?y(x0,y0)? 0 则由?(x.,y)=0可唯一确定y??(x),则z=f(x,?(x))在点x取得极值,从而 dz?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)????0dxx0fx?fy??x?0'?又(x0)=- ?x(x0,y0)?y(x0,y0) ?y?,令?= fy?y ?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?f(x,y)???y(x0,y0)?0则:?y00 即:(x0,y0)必满足: ?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0???(x0,y0)?0 〖注意〗:方程组中含有三个未知元x0,y0,? 若令F(x,y,z)=f(x,y)+??(x,y),则 ?Fx?0??Fy?0??F??0 【注】:1、求z=f(x,y)在条件?(x,y)=0下的极值方法,令F(x,y,z)=f(x,y)+??(x,y) ?Fx?0??Fy?0????0? 由 解得所有可能的极值点。 2、绝对不能用条件极值的判别法判别这些可能的极值点是否是极大(小)值点,只能用实际问题的性质去判断(最大,最小值一定存在) 【例】:求表面积为2a,体积最大的长方体的体积。 解:令长,宽,高分别为x,y,z,V=xyz 则s=2a=2(xy+yz+xz)令 F(x,y,?)=xyz+?(xy+yz+xz-a) ?Fx?F?y??Fz?F???yz??(y?z)?0?xz??(x?z)?0?xy??(x?y)?0?yzxzxy???????xy?yz?xz?a?0??y?zx?zx?y? x=y=z 3?a? 3x2?3=a x=y=z=. 由于最大值一定存在,从而(x0,y0,z0)为最大值点,且最大值为:3a3V=()3
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