高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法

解：因为：r为向径的模。

?rx?ry????xr?yr。

?rxy??cos???sin??cos?cos??sin?sin??cos(???)?lrr

即向径沿本方向时方向导数最大。

第五节 多元复合函数与隐函数求导法则

一、

全导数

定理1：设u??(x)， 在点x处可导，z?f(u,v)在x对应的点（u，v）处有连续的偏导数。则一元函数z?f(u(x),v(x))在点x处可导，称其为全导数。且

dz?zdu?zdvdz?fdu?fdv????????dx?udx?vdx或者dx?udx?vdx……公式（1）。称公式（1）为全导数

公式。

证明：由于z?f(u,v)有连续的偏导数，则z?f(u,v)可微。

?f?fdu?dv?u?v，又u，v关于x可导。从而du???(x)dx，dv???(x)dx。 ∴

dz?fdu?fdv????dx?udx?vdx。 代入可得：

dyv2 【例】：（1）、y?u，u?cosx，v?sinx，求dx。

?y?y?v?uv?1?uv?lnu 解：?u，?v

dudv??sinx?2sinxcosx?sin2xdxdx 且：，

22dy??sin3x(cosx)?cosx?sin2x?(cosx)sinx?lncosx ∴ dx

dz?二、复合函数微分法

定理2：设函数u?u(x,y)， v?v(x,y)，在点（x，y）处有偏导数，函数z?f(u,v)在其对应的点处有连续的偏导数，则z?f(u(x,y),v(x,y))在点（x，y）处有对关于x和y的偏导数，且有下列公式：

?z?z?u?z?v?f?u?f?v?????????x?u?x?v?x?u?x?v?x ?z?z?u?z?v?f?u?f?v?????????y?u?y?v?y?u?y?v?y……公式（2）

记忆方法：如图〖注〗：连线相乘，分线相加。

2?z【例】y?u，u?2x?y，v?x?3y，求?x

?z?z?u?z?v?????vuv?1?2?uvlnu?1?x?u?x?v?xv解： ?2(x?3y)(2x?y)2x?3y2?1?(2x?y)x?3y2ln(2x?y)

?z?f1?u【注】在实际解题过程中，我们防止出现不便，所以一般习惯有以下记号：，

?z?f2?v，其中1，2是根据题设z?f(u,v)中，u和v在函数中排在第个来决定，此点务

必记清楚。

定理3：设函数u?u(x,y)， v?v(x,y)，在点（x，y）处有偏导数，函数

z?f(x,y,u,v)，则：函数z?f(x,y,u,v)在点（x，y）处也有偏导数。且：

?z?f?f?u?f?v??????f1?f3?u1?f4v1?x?x?u?x?v?x ?z?f?f?u?f?v??????f1?f3?u2?f4v2?y?y?u?y?v?y

?f?u?v?f?f?f1?u1?v1?f3?f4其中：?x，?u，?v，?x，?x等等。

记忆方法：如图〖法则〗连线相乘，分线相加。

?f?z【注】：1、?x是二元函数z?f(x,y,u(x,y),v(x,y))关于x的偏导数。而?x是四元函数f(x,y,u,v)关于x的偏导数。

【例】：w?F(x?y?z)，z?f(x,y)，y??(x)，其中f,g,?有连续的导数或

dw者偏导数。求dx

dudydz?1??u?x?y?zdxdxdx 解：令，

dz?f?fdy?f?fdy??1??????(x)???(x)?ydx?x?y又因为dx，dx?x

dwdu?f?f?F?(u)??F?(x?y?z)?[1???(x)????(x)]dxdx?x?y又：。

〖注〗上题中的w函数是一元函数

y?z?zz?f(x,)x，求?x，?y。 【例】设

?zyy?f1?f2(?2)?f1?2f2xx 解：?x

?z1?f2同理：?yx。

【例】：f(x,y)连续偏导数，f(1,1)?fx(1,1)?1，fy(1,1)?2，

?zz?f(f(x,y),f(x,y))，?x(1,1)

解：令u?f(x,y)，v?f(x,y)

?z?f?u?f?v????z?f(u,v)?x?u?x?v?x ∴ ，

?f1(f(x,y),f(x,y))f1(x,y)?f2(f(x,y),f(x,y))f1(x,y) 其中：f1?fx,f2?fy

?z?1?1?2?1?3?x(1,1) ∴

?2u【例】：u?f(x,y,z),z?g(x,y)，求?x?y

?udxdy?z?z?f1?f2?f3?f1?1?f2?0?f3dxdx?x?x 解：?x?gdx?gdyf1?f3[?]?f1?f3[g1?g2?0]?f1?f3g1?xdx?ydx =

?2u???f1(x,y,z)?f3(x,y,z)g1(x,y,z)??f12?f13g2?g1f32g2?f3g2 ?x?y?y =f12?g2f13?g1g2f32?g12f3

三、全微分不变性（形式）

设z?f(u,v)有连续的偏导数，无论u,v是自变量还是中间变量，都有：

dz?fu(u,v)du?fv(u,v)dv

证明：（1）、当u,v为自变量时：（由定理1显然成立）；

（2）当u,v为中间变量时：z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)。

?

z?f(u(x,y),v(x,y))

?z?zdx?dy?x?y ?

?z?f?u?f?v?z?f?u?f?v????∵ ?x?u?x?v?x，?y?u?y?v?y

?f?u?f?v?f?u?f?vdz?{?}dx?{?}dy?u?x?v?x?u?y?v?y? ?f?u?u?f?v?v?[dx?dy]?[dx?dy]?y?v?x?y ?u?x

?u?u?v?vdu?dx?dydv?dx?dy?x?y，?x?y 又∵

dz?∴ dz?fu(u,v)du?fv(u,v)dv

【例89-1】：设函数z?f(2x?y)?g(x,xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)?2z具有二阶偏导数，求?x?y。

?z?2f?(2x?y)?g1(x,xy)?yg2(x,xy) 解：?x

?2z??[2f?(2x?y)?g1(x,xy)?yg2(x,xy)]?x?y?y

??2f??(2x?y)?xg12(x,xy)?g2(x,xy)?xyg22(x,xy)。

?2z【作业】：设z?f(2x?y,ysinx)，其中f(u,v)具有二阶偏导数，求?x?y。

二．隐函数求导

定理1：设F(x,y)在（x0,y0）的某个邻域U内有连续的偏导数，且F(x0,y0)?0，

Fy(x0,y0)?0，则在U内，方程F(x,y)?0确定了唯一的具有连续的导数的函数

Fxy???xFy。 y?f(x)，满足y0?f(x0)，且

yx??证明：这里仅仅证明

FxFy。

y?x??FxFy。

?对函数F(x,y)?0，两边关于x求导数得：Fx?Fy?yx?0?d2y2〖补充〗：如果F(x,y)的二阶偏导数都连续，则dx也存在，并且有：

Fxd2yddyd?[]?[?]dx2dxdxdxFy，