高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法

令p?y?，则

y???dy?dydpdp?pp?f(y,p)dydxdy，代入，得dy

dy?dx?p??(y,c)y??(y,c)?(y,c)设其通解为，则，即，积分即得。

3??y?2y【例3】，y(0)?y?(0)?1求特解。

解：令p?y?，则

y???pdpdpp?2y33pdp?2ydy dy，从而 dy，

1214c1p?y?222 由y(0)?y?(0)?1，得c1?0 积分，得

2所以 p??y 由y?(0)?1知

p?y2?dydx

?所以

11?x?c2?y?y1?x 由y(0)?1知c2??1

2???y?1?(y)求的通解。

解：此题既缺少x，又缺少y。从理论上，按以上两种方法都能算出结果，

但可能难度有差别。

此题课堂上当场做，检查学生的能力。 第七节 二阶线性微分方程解的结构

一、 函数的线性相关与线性无关： 定义1：设

y1(x),y2(x),?,yn(x)是定义在区间I上的函数，如果存在不全为零的数

k1,k2,?kn，使得k1y1?k2y2???knyn?0则称y1(x),y2(x),?,yn(x)在区间I上线性相关。否则，称y1(x),y2(x),?,yn(x)在区间I上线性无关。

y1(x)命题1：设y1(x),y2(x)是定义在I上的函数，则y1(x),y2(x)线性无关?y2(x)不恒为常数。

注1:若y1(x),y2(x)线性无关，则k1y1(x)?k2y2(x)无法合并成ky(x)，但当y1(x),y2(x)线性相关可合并。 二、

二阶线性微分方程及其解的结构

定义2：称形如：y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的方程为二阶线性非齐次方程。若f(x)?0，则方程为齐次的，若f(x)?0，则称方程为非齐次的。

定理1：设y1(x),y2(x)是y???P(x)y??Q(x)y?0的两线性无关解，则c1y1(x)?c2y2(x)为方程的通解。

定理2：设y?是y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的特解。c1y1(x)?c2y2(x)是对应的齐次方程的通解，则

y?y??c1y1(x)?c2y2(x)是y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的通解。

??yy12定理3：设，分别是y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)与y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)??yy12的解，则＋是y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)的解。

x2xx?xx2x?x【例1】设y1?xe?e,y2?xe?e,y3?xe?e?e是某二阶线性非齐次方程的解，求该方程通解。

Y1e2x?e?x?2x?xY?y?yYe?e不恒为常数 Y?y?y13，又212，2解：1?x2x?xx2x所以，Y1,Y2线性无关。故通解为y?c1e?c2(e?e)?xe?e

第八节 二阶常系数齐次微分方程的解法

一、

二阶常系数线性齐次方程的解

二、 定义:称形如y???py??qy?0(1),其中p,q为常数的方程为二阶常系数线性齐次方程.\\ 下面我们来讨论其解的结构.

2rx命题1: e是y???py??qy?0的解?r是r?pr?q?0的解,并称r2?pr?q?0(2)是(1)的特征方程.

r1xr2xr,ry?ey?e1212当特征方程(2)有两个不同的实根时,则,时方程(1)

(i)

y1r1xr2xyy?ce?ce212的两个解,且不恒为常数,从而方程(1)的通解为.

(ii)

r1x当r1?r2?r时,则y1?e是(1)的一个解.现在求另一个线性无关的解y2.y2?u(x)rxe设,代入(1)得

rx22 e[u???(2r?p)u??(r?pr?q)]?0 ,2r?p?0,r?pr?q?0所以u???0 rxu(x)?c?cxu(x)?xy?xe122则 取,则 rxrx通解为: y?c1e?c2xe

r1xr2x(iii) 当r1,2????i,则y1?e,y2?e,应用欧拉公式,得

y1?e?x(cos?x?isin?x), y2?e?x(cos?x?isin?x)

Y1?11(y1?y2)?e?xcos?xY2?(y1?y2)?e?xcos?x22i

构造

?x显然Y1,Y2线性无关,故通解为: y?e(c1cos?x?c2sin?x)

[例1] 求通解 (1) y???2y??y?0 (2) y???2y??3?0 (3) y???y?0

2解: (1) 特征方程为 r?2r?1?0 则r1?r2??1

?x?xy?ce?cxe12从而通解为

2 (2) 特征方程为r?2r?3?0 则r1??3,r2?1

?3xxy?ce?ce12从而通解为

2(3) 特征方程为r?1?0 则r1,2??i

从而通解为 y?c1cosx?c2sinx 二.n阶常系数线性齐次方程

(n)(n?1)y?ay???an?1y??any?0 (1) 1

nn?1特征方程为r?a1r???an?1r?an?0 (2)

(i) (ii) (iii)

当(2)中有单根时,(1)的通解中含:ce;

k?1rx(c?cx???cx)e kk当(2)中有重根时,(1)的通解中含: 12rx当(2)中有一对单复根时, r1,2????i,(1)的通解中含:

e?x(c1cos?x?c2sin?x)

(iv)

当(2)中有k重单复根时,(1)中的通解含有:

k?1rxk?1rx(c?cx???cx)ecos?x(c?cx???cx)esin?x 12k12k +

[例2] 求y(4)?2y????2y???0通解.

432解: 特征方程为r?2r?2r?0则r1?r2?0,r3,4?1?i

xy?c?cx?e(c3cosx?c4sinx) y12则的通解为

第九节 二阶单系数线性非齐次方程的解法

定义:称形式为:y???py??qy?f(x)?0（2）方程,为二阶常系数线性非齐次方程. 下面讨论它的解的结构.

?xf(x)?ePm(x)型 一、

??x设方程（2）的特解结构为：y?eQ(x)

（1） 当?不是特征根时，Q(x)可设为Q(x)?Qm(x)，即为一m次多项式。 （2） 当?是特征单根时，Q(x)可设为Q(x)?xQm(x)，即为一m＋1次多项式。

2（3） 当?是特征重根时，Q(x)可设为Q(x)?xQm(x)，即为一m＋2次多项式。

【例1】

2???y?y?x求的通解。

?x2解：特征方程为 r?r?0 则r1?0,r2??1，则齐次方程的通解为y?c1?c2e ?2由于?＝0是特征单根，则设特解为y?xQ2(x)?x(ax?bx?c) 22代入方程，比较系数得 3ax?(6a?2b)x?2b?c?x

1a?,b??1,c?23所以 1y??x(x2?x?2)3故 特解

?x所以通解为：y?c1?c2e1?x(x2?x?2)3