高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法

222x?y?r?利用格林公式. 选取充分小的半径r>0,在D内部作圆周: .记L与?之间的区域为D1, D1的边界曲线为L1?L?(??),这时D1内不含原点, P, Q在

?Q?Py2?x2?Q?P??0??222D1上连续,应用格林公式. 由 ?x?y(x?y), ? ?x?y

xdy?ydxxdy?ydx0dxdy?0I????Lx2?y2??x2?y2?L1=?L???=D1? =

其中?的参数方程为: x?rcost, y?rsint, 0?t?2?.

I=?02?2?r2cos2t?r2sin2tdt??dt?2?0r2.

平面曲线积分与路径无关的条件

从第二节的讨论,我们看到第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它

(x?y)dx?(y?x)dy?的数值一般与积分曲线有关.如:中,当L的端点固定在(1,1)点

L和(4,2)点时,若L取不同的路径,所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积

分路径有关.然而,存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关,只与起点和终点有关.亦即对任意两条以A为起点,B为终点的曲线L1和L2,有.

本段将讨论曲线积分在什么条件下,其值与路径无关.

首先,介绍单连通区域的概念:若对于平面开区域D内任一条封闭曲线L,均可以D以外的点而连续收缩于D中某一点,即L所围的点全属于D,那么就称D为单连通区域,通俗地说D是没有“洞”的区域.否则,称为复(多)连通区域.(如图).

L1L2?Pdx?Qdy?=

Pdx?Qdy已知对G内任一条闭曲线L, 曲线,从而有

0??Pdx?QdyL?L

Pdx?Qdy?0. 对G内任意两点A和B,设L1?LL?L?L212是G内一条封闭和是G内从点A到点B的任意两条曲线(如图),则

?=

L1Pdx?Qdy?+

L?2Pdx?Qdy。

?于是

L1Pdx?Qdy????Pdx?Qdy??Pdx?QdyL2L2

LPdx?Qdy?即曲线积分与路径无关,其中L位于G内. 3) ?4).

已知起点为M0(x0,y0),终点为M(x,y)的曲线积分在区域G内与路径无关,故可记此积分为

?(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy.

当M0(x0,y0)固定时,积分值仅取决于动点M(x,y),因此上式是x,y的函数,极为u(x,y),即

u(x,y)??(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy

下面证明u(x,y)在G内可微,且 du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy

(x,y)?u?u?Q(x,y)?P(x,y)P(x,y),Q(x,y)?y由于都是连续函数,故只需证?x, . ?uu(x??x,y)?u(x,y)lim?x不难证明 ?x=?x?0=P(x,y)

?uu(x,y??y)?u(x,y)lim?y?0?y ?y==Q(x,y) (详细过程见P157)

故u(x,y)的全微分存在,且du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy.

4) ?1).

已知存在一个函数u?u(x,y),使得 du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy

?2u?P?2u?Q?u?u?Q(x,y)???P(x,y)??x?y?y, ?y?x?x 从而 ?x, ?y?2u?2u由于P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数,所以混合偏导数?x?y,?y?x连续,故?2u?2u?x?y=?y?x,即

?Q?P??x?y

?[例8] 证明? 证:

(1,1)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(x?y)(dx?dy)与路径无关.

(x?y)(dx?dy)?=

(1,1)(0,0)(x?y)dx?(x?y)dy

?Q??1?P?x?yQ?y?x(0,0)?x 与路径无关., , ,

?P?Q?P(1,1)??1?(x?y)(dx?dy)??y?x?y(0,0) 在整个平面上连续,且,由定理,得与路径无

(x?y)(dx?dy)关.

[例9] 讨论(2x?siny)dx?(xcosy)dy的原函数.

?P?Q?cosy?cosyP?2x?sinyQ?xcosy?y解: , , , ?x 在整个平

?Q?P??x?y, 即定理中的1)成立,所以4)成立.即面上连续,且有

(2x?siny)dx?(xcosy)dy为某个函数的全微分. 且

, 由于曲线积分与路径无关,可取先从点

O(0,0)到点A(x,0)的直线段OA: y?0 (dy?0),再沿从点A到点M(x,y)的平行于y轴的直线段AM(dx?0),所以有

(0,0)u(x,y)??(x,y)(2x?siny)dx?(xcosy)dyu(x,y)??

OA??x0AM??P(x,0)dx??Q(x,y)dy0y00xy

??2xdx??xcosydy?x2?xsiny

y?C (C为任意常数). ? 所求原函数为 x?xsin2第九章 微分方程

函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界

运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。

第一节 微分方程的基本概念

定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。

22如： y???y??xy?1 二阶方程；y??xy?0一阶方程；y????x三阶方程，等等

讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之，y????x，

141y?x?C1x2?C2x?C3242方程两边三次积分，得方程的解（C1,C2,C3为任

14y?x24时，也满足方程。可见 意常数）。当

141y?x?C1x2?C2x?C3242包括了所有的解的形式。则称它为通解。 定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。

注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注2：一阶方程的几种形式：一般形式：F(x,y,y?)?0，从这个方程种有可能解出y?，也有可能解不出来；一阶显式方程：y??f(x,y)；对称形式：dyP(x,y)?dxQ(x,y)或Pdx?Qdy?0

注3：在一阶方程种，x和y的关系是等价的.因此，有时可将x看成函数，y看做变量。

第二节 可分离变量方程

定义1：称能改写为形式：f(y)dy?g(x)dx的一阶方程为可分离变量方程。 注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。

G(x)?g(x)，定理1：若F?(y)?f(y)，则f(y)dy?g(x)dx的通解为F(y)?G(x)?C 证： （1）先证F(y)?G(x)?C是方程的解。 dyf(y)?g(x)dx两边对x求导，得，即f(y)dy?g(x)dx

故F(y)?G(x)?C是方程的解

（2）设y??(x)是方程的任一解，则f[?(x)]??(x)dx?g(x)dx

f[?(x)]??(x)dx??g(x)dx两边关于x积分，得 ?

又 F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是g(x)的一个原函数 则F[?(x)]?G(x)?C，即y??(x)在F(y)?G(x)?C中 所以， F(y)?G(x)?C为f(y)dy?g(x)dx的通解。

注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。 注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。

4【例1】 求sinxcosydx?cosxsinydy?0的通解，并求满足初始条件

的特解。

sinxsinydx?dycosy，两边积分，得?lncosx??lncosy?lnC 解：方程可变为cosxy?Ccoxs为方程的通解。 即 cosy(0)??又

y(0)??4，代入，得

cos?4?Ccos0

?C?22

即满足初始条件的特解为

x?y【例2】 求y??e的通解。

cosy?2cosx2

x?y解：由y??e?e?y?ex?c，即为方程的隐式通解。 二、可化为齐次方程的方程

dy?exdxxyy?ee，分离变量，得e，两边积分，得