高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法

向曲线弧L上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy

P(x,y)dx?Q(x,y)dyP(x,y)Q(x,y)?即有: =,

LL其中P(x,y),Q(x,y)称为被积函数,L称为积分曲线弧.同理,当P(x,y),Q(x,y)都在L上连续时,上述积分才存在.故今后总假定P(x,y),Q(x,y)在L上连续

注

?1: 完全可以类似地扩到空间曲线?上,得

?P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

P(x,y)dx?Q(x,y)dy2: 当L为封闭曲线时,常记为:?

L3:这两类线积分,除了形式上不同之外,还有一关键性区别在于:第一类线积分与L的方向无关,而第二类线积分与L的方向有关.(下见性质2)

性质1:若L由有限有向曲线弧组成,例如L=L1+L2,则

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=?LL1P(x,y)dx?Q(x,y)dy?+

L2P(x,y)dx?Q(x,y)dy

性质2:设–L是L的反向曲线弧,则

P(x,y)dx?Q(x,y)dy??P(x,y)dx?Q(x,y)dy=L

第二型曲线积分的计算法

同前面一样,我们可以将对坐标的曲线积分转化为定积分来计算,有下列定

?L?理:

定理: P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续,L的方程为: x??(t),y??(t). 当t由?变动到?时,对应L上的动点M(x,y)从L的起点A变到终点B,??(t),??(t)在[?,?]上连续且不全为零,则

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt??=(证明略)

?注1:若L的方程为y??(x),x在a ,b之间.且x=a且x=b分别为L的起点和

终点,则有

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy[P(x,?(x))?Q(x,?(x))]??(x)dx?=

ab同理,若L的方程为x??(y),也有类似的结果.

2:设空间曲线?的方程为: x??(t),y??(t),z??(t),t?[?,?],且t??,t??分

?别对应于

?的起点和终点,则有

?P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz=

3:定理及注1,2中的定积分的上下限分别时参数所对应的参数值,起点对应的值为下限,终点对应的值为上限.

??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt

?xydx[例3] 计算?.其中L为抛物线yL2?x上的点A(-1,1)到B(4,-2)的一段.

2x?y解法一:由题知L的方程为 , y从-1到-2,故

25?262?2?224y??1xydx?y.y.2ydy2?ydy ??L=?1=?1=5=5

解法二: L的方程可写为y??x, x从1到4 ??Lxydx?x.(?x)dx??=1=14422462??xxdx15==5

325 [例5] 把第二型曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化为第一型曲线积分,其中

L:y?x上从(0,0)到(1,1)的一段弧.

11y??2x ,L的切向量T={1,2x} 解:

cos??1?1?1???2x??21co?s?2x=1?4x

2x?1?11????2x?=1?4x

22x1[P(x,y)?Q(x,y)]dsP(x,y)dx?Q(x,y)dy?L?1?4x1?4x于是 L= P(x,y)2x?Q(x,y)ds?L1?4x =.

第三节 格林公式

格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L的正向:设区域D是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L的正向规定为:当人沿着L行走时,区域D总在他的左边.若与L的正向相反,就称为负方向.记作–L.

定理1 设闭区域D由分段光滑的闭曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则

??Q?P????????dxdyPdx?Qdy?x?y?L?=D? (1)

其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L的正方向.公式(1)称为格林公式.

证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域.由D可表示为X型区域,不妨设

D={(x,y) : a≤x≤b, ?1(x)≤y≤?2(x)} (如图)

?2(x)?P(x,y)?Pbdxdydy???dx?(x)1?y?y则 D=?a

=?ab{P[x,?2(x)]?P[x,?1(x)]}dxb

bPdx?LPdx?LPdx?P[x,?1(x)]dx?P[x,?2(x)]dx?L又 =1+2=a+a

=

??{P[x,?2(x)]?P[x,?1(x)]}dxab

?P?Pdx???ydxdy?因此有 L=D

?Qdxdy??Qdy同理,D可表示为Y-型区域,不难证明: ?L=D?x

??Q?P???x??y??dxdyPdx?Qdy?????将上面两式相加得L=D?.

(ii)对于一般的区域D,即如果闭区域Ｄ不满足上述条件(既可表示为X-型区域,

也可表示为Y-型区域),则可以在D内引进若干条辅助线把D分成有限个部分闭区域,使每个部分满足上述条件.在每快小区域上分别运用Ｇreen公式,然后相加即成.

如图中D的边界曲线L,通过作辅助线AE将L分为L1,L2,同时将区域D分为D1,D2,它们都满足上述条件,于是

??Q?P??????x??y??dxdy?D1???2L1?EA?Pdx?Qdy=,

??Q?P??????x??y??dxdyPdx?Qdy?L?AE??=D

?上面两式相加,并注意到

L1?EA??=

L1+?

EA

?

,

?L2?AE??=

L2+?AE?,

?AE?=

???EA.

??Q?P????dxdy????Pdx?Qdy又L=L1+L2, D= D1+D2, 于是 ?L=D??x?y?.

?Q?P?Q?xP??y?x?y=1–(–1)=2, 代入公式,注:在Ｇreen公式中,当, 时,有 得

?L?ydx?xdy=

2??dxdyD=2A (其中A为D的面积)

于是

A?1xdy?ydx2?L. (2)

x2y2?2?12ab[例5] 计算椭圆围成的面积.

解: 椭圆的参数方程为 x?acost, y?asint, 0?t?2?.

[acost.bsint?bsint(?asint)]dt由式(2) , 得 A=?0

ab2?(cos2t?sin2t)dt? =20=?ab.

xdy?ydx?Lx2?y2[例6] 求I=, 其中L的为任一不含原点的闭区域D的边界.

2??Q?Py2?x2yxP??2Q?2??22222x?yx?y?x?y(x?y), 解: , . 不难验证

且P,Q在D上连续,故由Green公式,得

??Q?P?0dxdy?0I????????x??y??dxdy?D? = D xdy?ydxI??Lx2?y2[例7] 计算 , 其中L是包围原点在内的区域D的正向边界曲线(如图)

解:

P??yxQ?x2?y2, x2?y2. 因P, Q在原点(0,0)处不连续,故不能直接