高等数学讲稿 第七章 多元函数及其微分法

第七章 多元函数及其微分法

教学目的：1掌握多元函数的极限与连续；2多元函数的求导方法；3多元函数微分

在几何上的应用；4多元函数的极值

教学重点：多元函数的极限与连续、多元函数的求导方法

教学难点：多元函数的求导方法

第一节 多元函数的极限与连续

一、 平面区域

首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识： 1、

邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数?>0，以P0点为圆心，为?半径

222{(x,y)(x?x)?(y?y)??}，称为00作圆，该圆内所有点的全体，即

P0点的邻域，记做：U(P0,?)，简记U(P0)；

2、

内点：在平面点集?，存在P0的一个邻域U(P0)，使得U(P0)??，则称P0为?的内点；

3、 4、

开集：平面点集?内的所有点都是内点，则称点集?为开集；

边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集?的点，又含有不是点集?的点，则称点P为点集?的边界点。

5、

连通：如果点集?内的任意两点都能用全属于?的折线连接起来，则称?为连通的。

6、 7、

区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。 有界无界区域：对于平面点集?，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使

??D，则称为有界区域，否则称为无界区域。

8、

聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集?的点，称P为点集?的聚点。

【注】：平面点集中点的关系如图,其中：

二、 二元函数的极限和连续性

1、 二元函数

定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作：z?f(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。

【注】1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n≥1）；

2、定义1中，当x，y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称z?f(x,y)为单值函数，但有时侯取值不是唯一的，这时我们称z?f(x,y)为多值函数。如：z?y?z?9。一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。

3、二元函数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即z?f(x,y)222x?1,y?1?1z?f(x,y)???0，1?x?2,1?y?2，其中的定义中，x，y的取值范围。如：

域就是D?{x,y}?{x,y|x?2,y?2}。其二：我们给定的函数z?f(x,y)，使得z有确定取值的（x，y）的取值范围。如：z?f(x,y)?arcsin(x?y)，其定义域为：D={(x，y)| x?y?1 }。

4、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。

5、两二元函数相等，即f(x,y)?g(x,y)?定义域相等且起对应法则也必须相等。 【例】求

2222z?x?y的定义域。

2??x?y?0?y?x?????y?0。 解：显然要使得上式有意义。必须满足?y?02、 二重极限

定义2：设P0(x0，y0)为函数z?f(x,y)定义域D的聚点，如果当定义域内任意

一点P（P0除外），以任何方式趋近P0时，即：P?P0，都有f(P)?A，则称f(x,y)在的P0二重极限为A。

220?PP?(x?x)?(y?y)??000??? 语言表示：???0，???0，当

时，恒有：f(P)?A?f(x,y)?A??，记：三、求极限的方法

P?P0limf(P)?limf(x,y)?Ax?x0y?y0。

1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital法则外）对多元函数依旧

成立。如：两个重要极限，等价无穷小法则等等。

1tanxy

x?0〖例〗（1）、y?0lim(1?xy)

（2 ）、

xy(x2?y2)lim22x?0x?yy?01tanxy

1xyxytanxyxyx?0tanxylimy?0

x?0解：（1）：y?0lim(1?xy)22x?0=y?0lim(1?xy)=e=e=e

1 （2）：∵

x?yx2?y2?2?2?1x2?y2x?y2x?y2xy(x2?y2)?xy?1?xyx2?y2x2?y2

∴

x?0 又∵ y?0limxy?0

∴ 原极限=0

2、定义中提到任意方式趋近，我们可从中推断出：当我们能找到两条不同的路

径L1，L2，使得极限不存在。

P?P0，但是函数取得的极限却是不同的A，B时，则我们称其函数

?xy?f(x,y)??x2?y2x2?y2?022?0x?y?0在（0，0）处的极限。 ?〖例〗讨论，

解：取不同路径y=kx，当x趋近0时，y趋近0，但方式不同，

xykx2klimf(x,y)?lim2?lim?y?kx?0y?kx?0x?y2x?0(1?k2)x21?k2

显然，当k取值不同是，极限也不相同。 所以我们说函数在（0，0）的极限不存在。 3、 二次极限与二重极限的关系

称x?x0y?y0lim(limf(x,y))和y?y0x?x0lim(limf(x,y))为函数f(x,y)在点（x0,y0）的二次

极限。【注】二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存在。

x?0〖例〗（1）显然有：y?0lim(xsin11?ysin)?0?0?0yx，但是二次极限不存在。

极限不存在。但是其二次极限x?0四、函数的连续性及性质

?xy?f(x,y)??x2?y2x2?y2?022?0x?y?0在（0，0）处的二重? （2）、上面例题说明，

lim(limf(x,y))lim(limf(x,y))y?0=y?0x?0=0。

定义3：设P0是函数z?f(x,y)定义域D上的聚点，且P0?D，如果：

x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)，则称函数z?f(x,y)在点P0（x0,y0）连续，否则称该点

为不连续点。

?xy?f(x,y)??x2?y2x2?y2?022?0x?y?0在（0，0）处是不连?【例】：任由上面例题可知，

续的。

【注】：1、等价定义：函数z?f(x,y)在点P0（x0,y0）连续?

x?x0y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)?limf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?x?0?y?0

（2）、利用多元函数的连续性来解决极限问题。

lim〖例〗（1）、求极限

x?1解：∵ x?1xy?1xy?1

x?1x?1limxy?1?2x?1，且x?1lim(xy?1)?0∴ 原极限=0

性质1、（最大值和最小值）若函数z?f(x,y)在有界闭区域D上连续，则函数f在

D上有界，并且能取得最大值与最小值。

性质2、（介值定理）：设函数z?f(x,y)在有界闭区域D上连续，若P1（x1，y1），

P2（x2，y2）?D，且f(x1,y1)?f(x2,y2)，则对任何满足不等式f(x1,y1)?k?f(x2,y2)的实数k，总存在P0（x0，y0）点，使得f(x0,y0)?k。

特别：取得函数可以取得最大值与最小值之间的一切值。

第二节 偏导数