专题+不等式选讲年领军高考数学一轮复习(文理通用)

解：（1）由m?1，n?1，

??2x,x??1?得f?x??x?1?x?1??2,?1?x?1，

?2x,x?1?所以f?x??4的解集为???,?2?（2）由m?n?mn，可得

?2,???.

11??1， mnf?x??x?m?x?n?m?n，

因为m?0，n?0， 所以f?x??m?n??nm?11????m?n??2???4，

mn?mn?当且仅当m?n?2时等号成立.所以f?x??4.

13．已知f?x??a?x?b?a?0?，且f?x??0的解集为x?3?x?7. （1）求实数a，b的值；

（2）若f?x?的图像与直线x?0及y?m?m?3?围成的四边形的面积不小于14，求实数m取值范围.

【答案】（1）a?5，b?2；（2）???,1? 【解析】

（1）由f?x??0得：x?b?a，b?a?x?b?a，

??即??b?a??3，解得a?5，b?2.

b?a?7??7?x,x?2fx?5?x?2?（2）??的图像与直线x?0及y?m围成的四边形ABCD，??3?x,x?2A?2,5?，B?0,3?，C?0,m?，D?7?m,m?.

过A点向y?m引垂线，垂足为E?2,m?，则

SABCD?SABCE?SAED?112?3?m?5?m??2??5?m??14. 22化简得：m2?14m?13?0，m?13（舍）或m1.

故m的取值范围为???,1?.

14．已知函数f?x??2x?1?x?1． （1）解不等式f?x??4；

（2）记函数y?f?x??3x?1的最小值m，正实数a，b满足a?b?m，求证：3?41?log3????2．

?ab?【答案】（1）??2,6?；（2）证明见解析. 【解析】

（1）f?x??4等价于

11???x??1??1?x??x? 或?或?， 22??2x?1?x?1?4????2x?1?x?1?4??2x?1?x?1?4故?2?x??1或?1?x?11或?x?6， 22综上f?x??4解集为??2,6?.

（2）f?x??3x?1?2x?1?2x?2?2x?1??2x?2??3 当且仅当?2x?1??2x?2??0取等号，

?m?3，a?b?1， ?2141?41?4ba4ba当且仅当a?,b?时等号成??????a?b??5???5?2??9，

33ab?ab?abab立，

?41??log3????log39?2．

?ab?15．已知函数f?x??x?a?2x?2?a?R?． （1）当a?2时，求不等式f?x??2的解集；

（2）若x???2,1?时不等式f?x??3?2x成立，求实数a的取值范围．

2?或f?x??4cos(2x?)；（2）空集. 36【答案】（1）{x|x?【解析】

解：（1）不等式f(x)?2，即x?2?2x?2?2.

?x?2?1?x?2?x?1可得?，或?或?，

x?2?2x?2?22?x?2x?2?22?x?2x?2?2???解得x?22或x?2，所以不等式的解集为{x|x?或x?2}. 33（2）当x?[?2,1]时，2x?2?0，所以f(x)?x?a?2?2x， 由f(x)?3?2x得x?a?1，即a?1?x?a?1，

则??a?1??2，该不等式无解，

a?1?1?所以实数a的取值范围是空集（或者?）. 16．已知f?x??2x?2?x?1． （1）求不等式f?x??6的解集；

（2）设m、n、p为正实数，且m?n?p?f?3?，求证：mn?np?pm?12． 【答案】(1) ??1,3? (2)见证明 【解析】

（1）①x?2时，f?x??2x?4?x?1?3x?3， 由f?x??6，∴3x?3?6，∴x?3，即2?x?3，

②?1?x?2时，f?x??4?2x?x?1?5?x，由f?x??6，∴5?x?6，∴x??1，即

?1?x?2，

③x??1时，f?x??4?2x?1?x?3?3x，由f?x??6，∴3?3x?6，∴x??1，可知无解，

综上，不等式f?x??6的解集为??1,3?；

（2）∵f?x??2x?2?x?1，∴f?3??6， ∴m?n?p?f?3??6，且m,n,p为正实数

∴?m?n?p??m2?n2?p2?2mn?2mp?2np?36， ∵m2?n2?2mn，m?p?2mp，n?p?2np， ∴m?n?p?mn?mp?np，

∴?m?n?p??m2?n2?p2?2mn?2mp?2np?36?3?mn?mp?np? 又m,n,p为正实数，∴可以解得mn?np?pm?12． 17．[选修4—5：不等式选讲]

已知函数f(x)?|x?m|?|2x?m|(m?0). （1）当m?1，求不等式f(x)?1的解集；

（2）对于任意实数x,t，不等式f(x)?2?t?t?1恒成立，求实数m的取值范围.

2222222221??x?1?x??【答案】（1）?（2）?0,2? ?；

3??【解析】

（1）当m?1时，f?x??1为：x?1?2x?1?1

当x?1时，不等式为：x?1?2x?1?1，解得：x??3，无解

1111?x?1时，不等式为：?x?1?2x?1?1，解得：x??，此时??x?? 232311当x??时，不等式为：?x?1?2x?1?1，解得：x≥?1，此时?1?x??

22当?综上所述，不等式的解集为?x?1?x???

（2）对于任意实数x，t，不等式f?x??2?t?t?1恒成立等价于

??1?3?f?x?max??|2?t|?|t?1|?min

因为|2?t|?|t?1|?|(2?t)?(t?1)|?3，当且仅当(2?t)(t?1)?0时等号成立 所以?|2?t|?|t?1|?min?3