3.1.2 复数的几何意义

3.1.2 复数的几何意义

【学习要求】

1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念.

3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 【学法指导】

通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用． 【了解感知】 1．复数的几何意义：

(1) 复平面的定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做______，

y轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2) 复数与点、向量间的对应：

① 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点______； ② 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量___________．

2．复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝_________. 【深入学习】

探究点一 复数与复平面内的点

问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？

问题2 判断下列命题的真假：

①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．

例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．

跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．

探究点二 复数与向量

问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？

问题2 怎样定义复数z的模？它有什么意义？

例2 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．

1

跟踪训练2 求复数z1＝3＋4i，z2＝－－2i的模，并比较它们的大小．

2

跟踪训练3 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝2； (2)|z|≤3.

【当堂检测】

1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于 ( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2

2．当

3A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

→

3．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称→

点为B，则向量OB对应的复数为 ( ) A．－2－i

B．－2＋I C．1＋2i

D．－1＋2i

4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．

3.1.2 复数的几何意义课后作业

一、基础过关

1． 复数z＝3＋i3对应的点在复平面第几象限

A．一 C．三

B．二 D．四

( )

( )

2． 当0

A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

3． 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点

C对应的复数是 A．4＋8i C．2＋4i

( )

B．8＋2i D．4＋i

( )

4． 已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是

A．实轴 C．原点

B．虚轴 D．原点和虚轴

5．已知复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )

A．－1＋3i

B．1＋3i

C．－1＋3i或1＋3i D．－2＋3i

6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________． 二、能力提升

3π5π

7． 若θ∈(，)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )

44

A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

( )

8． 复数z＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是

A．虚轴 B．虚轴除去原点

C．线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0,1)，(0，－1) D．C中线段PQ，但应除去原点

11

9．复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第______象限．

22

10．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________． 11．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝______.

12．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：

(1)位于第四象限； (2)位于x轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．

→→

13．已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120°且复数z的

模为2，求复数z.

三、探究与拓展

14．(1) 满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是

A．一条直线 C．圆

B．两条直线 D．椭圆

( )

y

(2) 已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为3，则的最大值为________．

x