(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量、复数5.3平面向量的数量积教案(含解析)

§5.3 平面向量的数量积

考情考向分析

主要考查利用数量积的定义解决数量积的

运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．

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1．向量的夹角

→→

已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积

定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积 投影 几何意义

拓展：向量数量积不满足：

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①消去律，即a·b＝a·c?b＝c； ②结合律，即(a·b)·c?a·(b·c)． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b. (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21 cosθ＝夹角 a·bcosθ＝x1x2＋y1y2|a||b| x2＋y2 1x2212＋y2a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的|a·b|≤|a||关系 |x1x2＋y2222b| 1y2|≤?x1＋y1??x2＋y2?

概念方法微思 考

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1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？

提示 不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．

2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × ) (3)(a·b)c＝a(b·c)．( × )

?π?(4)两个向量的夹角的范围是?0，?.( × )

2??

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