级数敛散性判别的研究

济南大学泉城学院毕业论文

于是由柯西判别法定理就能得到这个推论所要证明的结论。

例题3.3 判断级数?n?1?n22n的敛散性。

n2?n2解 因为limn??nun?lim?limn??2n(nn)22?12n???1

所以由根式判别法知正项级数?n?1n2收敛。

注：根式判别法，适用于指数函数、幂指函数。不适用于有理函数、带有根式有理式、连乘或阶乘的级数。这种方法与比式法的相似之处也是无需选择参考级数，但是因为通项要开n次根号，所以往往在通项中出现n次方时选择此方法，缺点也是当极限值为1时，根式法失效，无法确定级数的敛散性。[5] 3.1.4 积分判别法

定理3.4 设f为[1,??)上非负减函数，那么正项级数?f(n)与反常积分

?1??f(x)dx同时收敛或同时发散。

定理3.5 正项级数?un收敛的充要条件是：部分和数列{Sn}有界，即存在某正数M，对一切正整数n有Sn?M。

定理3.6[1] 比较法则

设定义在?a,???上的两个函数f和g都在任何有限区间?a,u?上可积，且满足

f(x)?g(x),x??a,???

则当???ag(x)dx收敛时?a????f(x)dx必收敛；

??或者当?af(x)dx发散时，?ag(x)dx必发散。

证[1] 由假设f为?1,???上非负减函数，对任何正数A，f为?1,A?上可积，从而有

f(n)??n?1f(x)dx?f(n?1),n?2,3???

n依次相加得

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?f(n)??1f(x)??f(n?1)??f(n) (13)

n?2n?2n?1mmmm?1若反常积分收敛，则由(13)式左边，对任意正整数m，有

mn?1sm??f(n)?f(1)??1f(x)dx?f(1)??1m??f(x)dx

根据定理3.5，级数?f(n)收敛。

反之，若?f(n)为收敛级数，则由（13）式右边，对任一正整数m(?1)有 ?1f(x)dx?sm?1??f(n)?s (14) 因为f(x)为非负减函数，故对任何正数A，都有

0??1f(x)dx?sn?s,n?A?n?1

Am联系(14)式及定理3.6得反常积分?1??f(x)dx收敛。

f(x)dx是同时发散的。

用同样的方法，可以证明?f(n)与?1例题3.4 判断级数?n?1???1n?12的敛散性

解 设f(x)?1x?12，则

f(x)在[1,??)上为非负减函数，而

???1?dxx?12??4

故由积分判别法知?n?11n?12收敛。

注：积分判别法利用非负函数的单调性和积分性质，以反常积分作为比较对象来判断正项级数的敛散性。[6] 3.1.5 拉贝判别法

定理3.7[1] 设?un为正项级数，且存在某正整数N0及常数r， (i) 若对一切n?N0成立不等式

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un?1unn(1?)?r?1

则级数?un收敛。

(ii) 若对一切n?N0成立不等式

n(1?un?1un)?1

则级数?un发散。

证 (i)由n(1?un?1un)?r可得

un?1un?1?rn。选p使1?p?r。由于

1?(1?limn??1n)prn?limx?01?(1?x)rxp?limx?0p(1?x)rp?1?pr?1

因此，存在正数N，使得对任意n?N

rn?1?(1?1n)

p这样

un?1un?1?(1?(1?1n))?(1?p1n)p?(n?1n)

p于是，当n?N时就有

un?1?un?1unp?unun?1???uN?1uN?uN

p?(n?1n)(pn?2n?1)???(N?1N)?uN?p(N?1)np?uN

当p?1时，?1np收敛，故级数?un是收敛的。

un?1unun?1un???1nn?1n(ii) 由n(1?)?1可得

?1??，于是

un?1?un?1un?unun?1u3u2?u2?n?1n?211?????u2??u2 nn?12n- 11 -

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1n因为?发散，故?un是发散的。

推论3.4[1] 拉贝判别法的极限形式 设?un为正项级数，且极限

lim(1?n??un?1un)?r

存在，则

(i) 若r?1时，级数?un收敛 (ii) 若r?1时，则级数?un发散。 例题3.5 判断级数?n?1?1?3???(2n?1)2?4???(2n)?12n?1的敛散性。

解 因为

limn(1?n??un?1un)

?limn[1?n??1?3???(2n?1)2?4???(2n?2)?(2n?3)32?1

?2?4???(2n)(2n?1)1?3???(2n?1)

?limn??n(6n?5)(2n?2)(2n?3)?所以由拉贝判别法知级数收敛。 注：比式判别法和根式判别法是把所要判别的级数与某一等比级数相比较来判断收敛性。只有那些级数的通项趋于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数，这两方法才能鉴定出它的收敛性，如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了。[7]

拉贝判别法是以p级数为比较标准得到的判别方法，适用于那些收敛速度较慢的级数。

3.2 交错级数的收敛性

定义3.2[1] 若级数的各项符号正负相间，即

u1?u2?u3?u4?...?(?1)n?1?... (un?0,n?1,2,...) (15) 则称(15)为交错级数。

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