龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(9)

龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷（9）

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题意要求的． 1、平面向量a与b的夹角为60，a?(2,0)，b?1，则a?b?（ ） A．3 B．7 C．3 D．7 2.已知函数f?x??eax?????????????????????????9．?ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,若AB?AC?2AO，且OA?AC，则向量BA在向

????量BC方向上的投影为（ ）

A． 3 B．

333 C． D．? 222的图象在点(0,1)处的切线与直线x?2y?1?0垂直，则

?2x3?1?,x??,1?,???x?1?2?limf(1??x)?f(1)?x?0?x 等于( )

A.2e2 B. ?21e2 C. 2e D. ?12e 3、已知向量 a=(2cos?，2sin?)，??(?2,?)， b=（0,-1)，则 a与 b的夹角为( )

A．

32?-? B．

?2+? C．?-

?2 D．?

4.设x,y?R,向量a??x,1?,b??1,y?,c??2,?4?,且a?c,b//c,则?a??b?( )

A．5 B．10 C．25 D．10

5．函数y?2sin(?6?2x)(x?[0,?])为增函数的区间是 ( )

A. [0,? B. [????3]

12,712] C. [?3,56] D. [56,?] 6、设a,b是两个非零向量.（ ）

A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

7、 若?、?是关于x的方程x2??k?2?x?k2?3k?5?0（k?R）的两个实根，则?2??2 的

最大值等于（ ） A. 6 B.

509 C. 18 D. 19 8、在?ABC中，D为BC中点，若?A?120?，AB?AC??1，则AD的最小值是 （ ）

A

1322 B 2 C 2 D 2 10．已知函数f(x)?? 函数g(x)?asin(x)?2a?2(a?0)，若存在????13x?16,x???16?0,?2??.x1,x2??0,1?，使得f(x1)?g(x2)成立，则实数a的取值范围是 A.??1?2,4?3?? B.???0,1?2?? C.??24??1??3,3?? D.??2,1??

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上． 11.已知a，b是非零向量，若(a?2b)?a，(b?2a)?b，则a与b的夹角是_______． 12．函数y = f ( x ) = x3＋ax2＋bx＋a2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 13．如图,在矩形ABCD中,AB?2，BC?2，点E为BC的中点,点F在边CD上,若???AB?????AF??2, ???AE?????BF?的值是____.

lgx, x?014．设定义域为R的函数f(x)?{ -x2?2x, x?0, 若关于x的函数

y?2f2(x)?2bf(x)?1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是___

?15.在平行四边形ABCD中,∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点,且满足|BM||BC|?|CN||CD|,则AM?AN的取值范围是_________ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.

证明过程或演算步骤．

16．已知向量?a＝(cos?,sin?)，??[0,?]，向量?b＝(3，－1)

(1)若?a?b?，求?的值；

(2)若2?a??b?m恒成立，求实数m的取值范围。

17、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA→＋4OB→＋5OC=→→

0 。

(1)求数量积，OA→·OB →，OB→·OC →，OC→·OA →

；(2)求ΔABC的面积。

18．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.

(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，1

3

(a＋b)三向量的终点在一直线上？

(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？

．已知函数f(x)?1?lnxx.（1）若函数在区间(a,a?12)上存在极值，其中a?0，求实数a的取值范围；（2）如果当x?1时，不等式f(x)?kx?1恒成立，求实数k的取值范围；

20．已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g?x?1??g?1?x??2x?2x?1，且g(1)??1．令f(x)?g(x?12)?mlnx?98(m?R,x?0)．

（1）求 g(x)的表达式；

（2）设1?m?e，H(x)?f(x)?(m?1)x，证明：对任意x1,x2??1,m?，恒有|H(x1)?H(x2)|?1．

21．设函数f?x??x2?aln?x?1?.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数F(x)?f(x)?ln2有两个极值点x11,x2且x1?x2，求证F(x2)?4．[来源学科网Z

19

龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷（9）参考答案

一、选择题：BAABC CCDCA

二、填空题:

11.

?3 12. a = 4 , b = －11 13. 2 14. ?32?b??2 15. ( AM?AN)max= =5,(AM?AN)min=2.

三、解答题:

16．解：(1)∵?a?b?，∴3cos??sin??0，得tan??3，又??[0,?]，所以??π；

(2)∵2?3a??b＝(2cos??3,2sin??1)，

17．解：①∵|→OA|=|→OB|=|→OC|=1由3→OA＋4→OB＋5→OC=→0 得：3→OA＋4→OB=－5→

OC

两边平方得：9→OA2＋24→OA·→OB＋16→OB2=25→OC2∴→OA·→

OB=0

同理：由4→OB＋5→OC=－3→OA求得→OB·→OC=－4→→→→→5 由3OA＋5OC=－4OB求得OA·OC=－3

5

②

由→OA·→

OB=0,故s1→→1→→44?0AB=2 |OA||OB|=2 由OB·OC=－5 得cos∠BOC=－5

∴sin∠BOC=－35 ∴s1→→3→→3

3?0BC=2 |OB||OC|sin∠BOC=10 ，由OC·OA=－5 得cos∠COA=－5 ∴sin∠COA=45 ∴s1→→26

?0AC=2 |OC||OA|sin∠COA=5 即sABC=s?0AB＋s?0AC＋s?0BC=5

18．解 (1)设a－tb＝m[a－13(a＋b)]，m∈R，化简得(23m－1)a＝(m

3－t)b，

?

2m－1＝0m＝3，∵a与b不共线，∴?32

?

m ???

3－t＝0?

t＝12

.

∴t＝12时，a，tb，1

3

(a＋b)的终点在一直线上．

(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2.

∴当t＝12时，|a－tb|有最小值3

2

|a|.

?h(x)在?1,??)上单调递增， ??h(x)?min?h(1)?1?，从而0g?(x)?0， 故g(x)在?1,??)上也单调递增， 所以?g(x)?min?g(1)?2，所以k?2

20. 解（Ⅰ）设g?x??ax2?bx?c，于是

g?x?1??g?1?x??2a?x?1?2?2c?2?x?1?2?2，

?所以??a?12， 又g?1???1，则b??1．所以g??x??1x2?1x?1. ……………5分?c??1.222 （Ⅱ）因为对?x?[1，m]，H?(x)?(x?1)(x?m)x?0，所以H(x)在[1,m]内单调递减.

于是|H(x?H(x(m)?111)2)|?H(1)?H2m2?mlnm?2.

|H(x)?H(x1211312)|?1?2m?mlnm?2?1?2m?lnm?2m?0.…………………8分

记h(m)?1m?lnm?3(1?m?e)，则h'(m)?1?1?3?3?1?1?2?122m2m2m22m33?0，

所以函数h(m)?132m?lnm?2m在?1，e]是单调增函数，

所以h(m)?h(e)?e3?e?3??e?1??1???0，故命题成立. ………………… 13分 22e2e

故h(x)?h(?)?

21．解：(1)函数f(x)的定义域为(?1,??)，

1211． ∴F(x2)?h(x2)?． （14分） 44a2x2?2x?af?(x)?2x??(x??1)（2分）

x?1x?1令g(x)?2x2?2x?a，则??4?8a．

1时，g(x)?0，从而f'(x)?0，故函数f(x)在(?1,??)上单调递增； 21② 当??0，即a?时，g(x)?0，此时f'(x)?0，此时f'(x)在f'(x)?0的左右两侧不变号，

2① 当??0，即a?故函数f(x)在(?1,??)上单调递增； （4分）

③ 当??0，即a?1?1?1?2a?1?1?2a1时，g(x)?0的两个根为x1?,x2???， 22221时，x1??1． 2当1?2a?1，即a?0时，x1??1，当0?a?故当a?0时，函数f(x)在(?1,?1?1?2a?1?1?2a)单调递减，在(,??)单调递增；

22当0?a?1?1?1?2a?1?1?2a时，函数f(x)在(?1,),(,??)单调递增， 222在(?1?1?2a?1?1?2a（7分） ,)单调递减．

221，0?1?2a?1， 2(2)∵F?(x)?f?(x),∴当函数F(x)有两个极值点时0?a?故此时x2??1?1?2a1?(?,0)，且g(x2)?0，即a??(2x22?2x2)， （9分）

22[来源学科网ZXXK]?F?x2??x22?aln?1?x2??ln2?x22?(2x22?2x2)ln?1?x2??ln2,设h(x)?x2?(2x2?2x)ln(1?x)?ln2，其中?

1?x?0， （10分） 2则h?(x)?2x?2(2x?1)ln(1?x)?2x??2(2x?1)ln(1?x)， 由于?11?x?0时，h'(x)?0，故函数h(x)在(?,0)上单调递增， 22