全国大联考2017届高三第六次联考·文科数学试卷（附详解答案）

请考生在22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

x=3cosθ已知曲线C的参数方程为 (θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C

y=2sinθ上的点按坐标变换

x'=3x

11y'=2y

得到曲线C'.

(1)求曲线C'的普通方程;

(2)若点A在曲线C'上,点B(3,0),当点A在曲线C'上运动时,求AB中点P的轨迹方程.

23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;

(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.

参 考 答 案

1.D A={0,1,2};B={x|0≤x≤2},所以A∩B={0,1,2}. 2.A 由(1-i)z=3-2i,得z=

(3-2i)(1+i)5+i51

=,所以复数z在复平面内对应的点为(,)在第一象限. 22(1-i)(1+i)21

8

3.B 由于分层抽样过程中,每个个体被抽到的概率都相等,所以总体的个数为20÷=160. 4.C 因为a6=a5+2a4,所以a4q=a4q+2a4,即q-q-2=0.

2

2

又an>0,所以q>0,得q=2,所以6=q=4.

2

aa4

5.B 若c=0,则ac=bc=0,故命题q:若a>b,则ac>bc为假命题;命题p:m为直线,α,β为平面,若α∥β,m∥β,则m∥α也为假命题,因为m可以在α内.因此只有",p或q为真命题.

377

6.C 若输入的x=3,则x=2-1=7,而7<126,故x=2-1=127,而127>126,故x=2-1=127.所以输出的x值为127.

2

2

2

2

7.A 由三视图可知,该几何体是由一个边长为2正方体以及一个高是2,底面积为2的三棱锥构成.其中正方体的体积为8,而三棱锥的体积为×2×2=,故所求几何体的体积为8+=. 8.A 由题知(x-a)

(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x+x+a-a=-(x-)+a-a+.

2

2

2

2

134342833

1214

∴?x∈R,使得不等式(x-a) (x+a)>1成立,

转化为函数y=-(x-)+a-a+的最大值大于1,

2

2

1214

即f()=a-a+>1成立,解之可得a<-或a>.故选A.

2

12141232

9.C 由图可知A=2,T==4(6-4)=8,∴ω=,∴f(x)=2sin(x+φ),又f(6)=-2,即sin(×6+φ)=-1,可得φ=0,∴f(x)=2sinx,其周期为

8,∴f(1)+f(2)+??+f(2015)=251×[f(1)+f(2)+??+f(8)]+f(1)+f(2)+??+f(7). 又f(1)+f(2)+??+f(8)= 2+2+ 2+0- 2-2- 2+0=0,f(1)+f(2)+??+f(7)=0, ∴f(1)+f(2)+??+f(2015)=0. 10.A 设Q(x0,y0),xy=1,则y=,∴y'=2,

∴曲线C在点P处的切线方程为y-=-2(x-x0),整理得

x22112

+y-=0,∴A(2x0,0),B(0,),P(x0,),∴△OAB的面积S=×2x0×=2. 2x0x0x02x0x0

1

x0

1x0

1x

-1x

π4

2πωπ4π4π4

,其中1<λ<4,则有11.D 依题意,设 BO=λ BC

3 + +λ = +λ(AC - )=(1-λ) +λAC .又 +(1-x)AC ,且 ,AC 不共AO= ABBO= ABBCABABABAO=x ABAB

线,于是有x=1-λ∈(-,0),即x的取值范围是(-,0).

12.C 设双曲线的左焦点为F1,由题可知抛物线的准线方程为x=-,F(,0),F1(-,0),c=.由抛物线的定义知点P到准线的距离为p,所以可得点P的横坐标为p-=,纵坐标为标为(,p),∴|PF1|=(+)+(p)=p,

2

2

2

2

1313

p2p2p2p2

5656pp23 63p,即点P的坐

p 633pp32

63

4936

77511c

∴|PF1|=p,∴2a=|PF1|-|PF|=p-p=p,即a=p,∴e==2=3. 66636ap6p

13.2 画出可行域可知当目标函数过点(1,0)时取得最小值,最小值为z=2×1+0=2.

14. 从4个球中随机抽取两个球,共有6种抽法.满足两球编号之和大于5的情况有(2,4),(3,4)共2种取法.所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为=.

21

63

13

22

15.(-,) 因为|PO|+r=|PC|(c为圆心,r为圆的半径),所以x1+y1+2=(x1+1)+(y1-2),即

2

2

2

2

2

33

105

2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.

当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,). 16.

mn-1m-1m2m(m-1)m2

依题意可得a1=.因为以m为分母组成属于集合A1的元素为2,2,?,即22mmm233

10512(m-1)1+2+?+(m2-1)1+2+?+(m2-1),,?,.而这些元素的和为a1.所以a2=-a1.即=a1+a2同理mmmm2m21+2+?+(m3-1)1+2+?+(mn-1)mn-1

=a1+a2+a3.?.=a1+a2+a3+?+an.所以可得a1+a2+?+an=. m3mn2

17.解:(1)由cos C=A=

34

,得sin C=

134

,由正弦定理得sin

asinC 39π5 39 35 13 13=,∵a

(2)∵sin B=sin C,∴B=C,∴b=c. 由△ABD的面积为

2

2

2

398

,∴·csin A=c·

2

1

2b214

39 398

=8

,得c=2,

BD=1+2-2×1×2×=,∴BD=

5582

102

. ............................................ 12分

18.解:(1)设“a能获一等奖”为事件A,

事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人,能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、(a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、e)、(d、f)、(e、f)15个,包含a的有5个,所以P(A)==. ........... 6分 (2)设“若a、b已获一等奖,c能获奖”为事件B,

a、b已获一等奖,余下的四个人中,获奖的基本事件有(c,c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d,c)、(d、d)、(d、e)、(d、f)、(e,c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f,c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16个,

其中含有c的有7种,所以,P(B)=. ............................................ 12分 19.证明:(1)取BE的中点G,连结GF,GD.因为F是BC的中点, 则GF为△BCE的中位线.所以GF∥EC,GF=CE.

1

2

716

51153