平行线中的数学思想

平行线中的数学思想

渗透在平行线中的数学思想方法较多，下面举例说明两种主要思想方法的应用。

一、转化思想

有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能转化解题思路，问题便能得到顺利解决。

例1 如图1所示，当∠1＝∠5时，试说明直线a,b是否平行？为什么？

c 1

a 3 6

5 4 b

解：平行。 理由如下：

方法一：转化为同位角判断。

因为∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠5（已知）， 所以∠3＝∠5（等量代换）。

所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。 方法二：转化为内错角判断。

因为∠1＝∠3，∠4＝∠5（对顶角相等）， 又因为∠1＝∠5，所以∠3＝∠4（等量代换）。 所以a∥b（内错角相等，两直线平行）。 方法三：转化为同旁内角判断。

因为∠1＋∠6＝180°（邻补角定义），∠1＝∠5（已知）， 所以∠5＋∠6＝180°（等量代换）。

又因为∠4＝∠5（对顶角相等），所以∠4＋∠6＝180°（等量代换）。 所以a∥b（同旁内角相等，两直线平行）。

评注：利用转化思想将未知化归为已知问题是一种基本的解题思想，要注意掌握这种思想。 二、构造思想

当遇到的几何问题直接解决比较困难时，可通过对图形添加辅助线来解决。

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例2 如图2所示，已知∠BED＝∠B＋∠D，试说明AB与CD的位置关系。

C D A E B F 分析：由已知条件无法判断AB与CD的位置关系，需构造应用平行线判定方法的条件。因此，过E作∠BEF＝∠B，则AB∥EF，由已知可得∠FED＝∠D，则CD∥EF，由平行公理可得AB∥CD。 解：AB∥CD，理由如下：

过E作∠BEF＝∠B，所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）。 因为∠BED＝∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D， 所以∠FED＝∠D。

所以CD∥EF（内错角相等，两直线平行）。

所以AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。

评注：⑴当题目现有的条件不能解决问题时，可考虑作辅助线；⑵作角是一种常见的辅助线，还可以作平行线。

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