角的概念的推广教案4

课题引入

在第1课时的基础上，进一步理解终边相同的角的概念，并用元素终边在x轴、y轴上角的集合，表示四个象限的角的集合．

在此基础上，用终边相同的角的概念表示平面上终边在过原点的任意直线上角的集合，终边在平面上某个区域的角的集合．

首先复习上一节课的内容． 复习的方法有两种：

一种是，老师作概括性的发言，发言中要重点强调上一节课的核心问题是引入任意角的概念，任意角的两个要点是角的大小不受局限，角有符号．

体现任意角的两个重要概念是象限角、终边相同的角．老师可以继续指出这两个重要概念的特点．

怎样用这些内容表示终边在x轴、y轴及各象限角呢？是本节课要学习的内容． 第二种复习上节课内容的方法是，用提问题的方式复习上一节课的内容，学生回答、教师总结相结合．

（1）什么叫象限角？142o，－319o，k·360o，－17o（k∈Z）分别是第几象限角？ （2）第一象限角都是正角吗？举例说明；终边与x轴正向重合的角一定是零角吗？ （3）与α终边相同的角的集合怎样写？α必须是0o到360o的角吗？举例说明． （4）与α终边相同的角有多少个？这些角关系是什么？举例说明． （5）设OA是210o角的终边，以OA为终边的角都是正角吗？举例说明． 写出以OA为终边的角的集合，这角是第几象限角？

在学生回答问题时，教师要不断地总结象限角、终边相同的角的特点，突出任意角的特点．

怎样用上面这些内容表示终边在x轴、y轴及象限角呢？这是本节课要学习的内容．

知识讲解

1．终边在x轴上角集合

终边在x轴正向的角：这些角与0o角的终边相同，集合为{β|β=0o+ k·360o，k∈Z }； 终边在x轴负向的角：这些角与180o角的终边相同，集合为{β|β=180o+ k·360o，k∈Z }；

∵β=0o+ k·360o=2k·180o，（k∈Z）.

β=180o+ k·360o=180o+2k·180o=（2k+1）·180o （k∈Z） ∴终边在x轴上角的集合为

{β|β=0o+ k·360o，k∈Z }∪{β|β=180o+ k·360o，k∈Z }

={β|β=2k·180o，k∈Z }∪{β|β=(2k+1)·180o，k∈Z }={β|β=k·180o，k∈Z }

2．终边在y轴上角的集合

终边在y轴正向的角：这些角与90o角的终边相同，集合为{β|β=90o+ k·360o，k∈Z } 终边在y轴负向的角：这些角与270o角的终边相同，集合为{β|β=270o+ k·360o，k∈Z }

∴终边在y轴上角的集合为

{β|β=90o+ k·360o，k∈Z }∪{β|β=270o+ k·360o，k∈Z }

={β|β=90o+2k·180o，k∈Z }∪{β|β=90o+ (2k+1)·180o，k∈Z }={β|β=90o+k· 180o，k∈Z }

由于终边在y轴负向角的集合还可以写成{β|β= －90o+ k·360o，k∈Z } 所以终边在y轴上角的集合还可以写成{β|β= ±90o+ k·360o，k∈Z }

３．象限角

第一象限角：{β| k·360o<β<90o+ k·360o，k∈Z }

不等式的左边表示终边与x轴正向相同，右边表示终边与y轴正向相同. 第二象限角：{β| 90o+ k·360o<β<180o+ k·360o，k∈Z }

不等式的左边表示终边与y轴正向相同，右边表示终边与x轴负向相同. 第三象限角：{β|180o+ k·360o<β<270o+ k·360o，k∈Z } 第四象限角：{β|270o+ k·360o<β<360o+ k·360o，k∈Z } 第四象限角还经常用下面的写法：

不等式的左边写成与－90o角的终边相同，右边写成与0o角的终边相同.即 {β|－90o+ k·360o<β< k·360o，k∈Z } 以上这些内容要求学生熟练掌握并准确地记忆它．

例题分析

例1．写出终边在第一、三象限角平分线上的角的集合．

分析：终边在第一象限角平分线上的角与45o角的终边相同，其集合为：

{β|β=45o+ k·360o，k∈Z }

终边在第三象限角平分线上的角与225o角的终边相同，其集合为

{β|β= 225o+ k·360o，k∈Z }

所以，终边在第一、三象限角平分线上的角的集合是： {β|β=45o+ k·360o，k∈Z }∪{β|β=225o+ k·360o，k∈Z } ={β|β=45o+2k·180o，k∈Z }∪{β|β=45o+180o+2k·180o，k∈Z } ={β|β=45o+k·180o，k∈Z }

由前面知识的讲解中分析终边在x轴、y轴上角及对例1的分析，我们提出这样的问题： 如果两条射线互为反向延长线，那么以这两条射线为终边的角的集合是否都能合并成一个集合？

答案是肯定的．

理由是，以这两条射线为终边的角之间相差若干个平角．

从图上看，从一条射线旋转（逆时针或顺时针）若干个半圈到另一条射线，即旋转若干个平角，n·180o(n∈Z)．

所以，以α和它的反向延长线为终边的角的集合为{β|β=α+n·180o，n∈Z} 反之，集合{β|β=α+k·180o，k∈Z }在直角坐标系中，表示的终边有两条，这两条终边互为反向延长线．

例2．如图4-5，写出终边在阴影部分角的集合． 分析 以OA为终边的角与60o角的终边相同， 以OB为终边的角与160o角的终边相同， 可以，终边在图中阴影部分角的集合为{β|60o+ k·360o<β<160o+ k·360o，k∈Z }

练习与讲评

（1）写出终边在第二、四象限角的平分线上的角的集合.

（2）在直角坐标系中，画出集合{β|β= －40o+k·180o，k∈Z }，中的角的终边. （3）写出终边在左半平面上的角的集合. 这3个题用来考查：

用终边相同的角的概念，写出两条终边共线时角的集合，及终边在平面上某一区域时角的集合.

答 案：

（1）{β|β=135o+n·180o，n∈Z}，或{β|β=－45o+n·180o，n∈Z}. （2）角的终边与－40o角的终边和它的反向延长线上角的终边相同，图4-6中OA、OB为所求.

（3）{β|90o+k·360o<β<270o+ k·360o，k∈Z }.

小结或总结

本节课是在上节课角的概念推广的基础上，应用象限角、终边相同的角的概念，解决终边在x轴，y轴及象限角的集合，并进一步研究两条终边共线时角的集合，终边在平面内某个区域内角的集合.

通过本节课的教学，进一步理解象限角、终边相同的角的概念，强化学生“任意角”的观念.

习 题

A 组

1．写出－720o到－360o范围内第一象限角的区间． 2．写出360o到720o范围内终边在x轴负向上的角的集合． 3．已知：（如图4-7）在直角坐标系中，射线OA是－130o角的终边．OA关于x轴对称的射线为OB，OA关于y轴对称的射线为OD，OA的反向延长线的射线为OC．

（1）写出以OB为终边的角集合； （2）写出以OD为终边的角的集合； （3）写出以OC为终边的角的集合；

（4）将以OA为终边的角的集合，以OC为终边的角的集合合并成一个集合． B 组

4．已知A（－3，－3）写出以OA为终边的角的集合；写出以OA的反向延长线终边的角的集合．

5．已知直线y=3x，写出终边在该直线上的角集合．

6．已知集合p={β|140o+k·360o<β<230o+ k·360o，k∈Z }，将集合的140o，230o