2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(31)数列的综合应用

课时作业(三十一) [第31讲 数列的综合应用]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

an

1．已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a，b均为正常数，那么an与an＋1的大

bn＋1

小关系是________．

2．从盛满10 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精________ L.

?a1＋a2?2

3．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围

b1·b2

是________．

1

4．已知数列{an}中，a1＝a，a为正实数，an＋1＝an－(n∈N*)，若a3>0，则a的取值

an

范围是________．

能力提升 5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝________. 6．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．

7．[2011·上海长宁二模] 设数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，则该数列前6项和为________．

8．[2011·无锡联考] 已知数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b8，则一定有________(填序号)．

①a3＋a9≤b9＋b7； ②a3＋a9≥b9＋b7； ③a3＋a9>b9＋b7； ④a3＋a9

9．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于________．

10．[2011·衡水模拟] 设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn，Sn＋1，Sn＋2成等差数列，则公比q＝________.

11．通项公式为an＝an2＋n的数列{an}，若满足a1an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是________．

a??2n，an为偶数，

12．已知数列{a}满足：a＝m(m为正整数)，a＋＝?若a＝1，则

n

1

n1

??3an＋1，an为奇数.

6

m所有可能的取值为________．

13．(8分)已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝(1)求公差d的值；

5

(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值．

2

1＋an

. an

14．(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9?.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备．

(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？

(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考：

1.19≈2.36 1.00499≈1.04 1.110≈2.59 1.004910≈1.05 1.111≈2.85 1.004911≈1.06

15．(12分)[2011·扬州调研] 数列{an}的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A，B使an＋Sn＝An＋B对任意正整数n都成立．

(1)若A＝0，求证：数列{an}是等比数列；

111

(2)设数列{an}是等差数列，若p

SpSqS11

16．(12分)[2011·苏北四市一调] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝pan－2n，*

n∈N，其中常数p>2.

(1)证明：数列{an＋1}为等比数列； (2)若a2＝3，求数列{an}的通项公式；

(3)对于(2)中数列{an}，若数列{bn}满足bn＝log2(an＋1)(n∈N*)，在bk与bk＋1之间插入－

2k1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm＝2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

课时作业(三十一)

【基础热身】

a?n＋1?an

1．an

?an＋a??bn＋1?－an?bn＋b＋1?＝

?bn＋b＋1??bn＋1?a

＝>0，所以an

2．9×0.94 [解析] 第一次倒出后还有纯酒精：10－1＝9 (L)；第二次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9 )L；第三次倒出后还有纯酒精：(9－1×0.9)－0.1×(9－1×0.9)＝(9－1×0.9)×0.9＝9×0.92(L)，所以第五次倒出后还有纯酒精9×0.94 L.

3．(－∞，0]∪[4，＋∞) [解析] 在等差数列中，a1＋a2＝x＋y，在等比数列中，xy＝

?a1＋a2?2?x＋y?2x2＋2xy＋y2xy?a1＋a2?2xy

b1·b2，∴＝＝＝＋＋2，当x·y>0时，＋≥2，故≥4；

b1·b2x·yx·yyxyxb1·b2

?a1＋a2?2xy

当x·y＜0时，＋≤－2，故≤0.

yxb1·b2

－1＋51＋5?a2－1?2－a21114.，1∪，＋∞ [解析] a3＝a2－＝a1－－＝>0，

22a2a11a?a2－1?

a1－

a1

1＋51－5－1－5－1＋51＋5－1＋5a－a－a－a－a－a－

222222

∴>0，∵a>0，∴>0.

a?a＋1??a－1?a－1

－1＋51＋5故a∈，1∪，＋∞.

22【能力提升】

5．15 [解析] ∵4a1,2a2，a3成等差数列，

∴4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，∴q2－4q＋4＝0， ∴q＝2，S4＝15.

6.104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x)10＝4，

10∴x＝4－1.

7．0 [解析] a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，∴S6＝0. 8．② [解析] a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b8＝b9＋b7. 在等差数列{an}中am＋an＝ap＋aq?m＋n＝p＋q.

2

9．60 [解析] 由a4＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，得2a1＋3d＝0，再由S8＝8a15690

＋d＝32得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋d＝60. 22

＋

10．1 [解析] 依题意有2Sn＋1＝Sn＋Sn＋2，当q≠1时，有2a1(1－qn1)＝a1(1－qn)＋a1(1＋

－qn2)，

解得q＝1，但q≠1，所以方程无解；当q＝1时，满足条件．

11

11．－an＋1

917

对n≥8恒成立，

911711得<－<，可知－

a1ma2m

12．4或5或32 [解析] (1)若a1＝m为偶数，则为偶数，故a2＝，a3＝＝，

2224

mmmm

①当仍为偶数时，a4＝，?，a6＝，故＝1?m＝32.

483232

3

m＋14m3

②当为奇数时，a4＝3a3＋1＝m＋1，?，a6＝，

4443

m＋14故＝1得m＝4.

4

3m＋1

(2)若a1＝m为奇数，则a2＝3a1＋1＝3m＋1为偶数，故a3＝必为偶数，

2

3m＋13m＋1a6＝，所以＝1可得m＝5.

1616

3×4

13．[解答] (1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.

2

57

(2)∵a1＝－，∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n－，

2211

∴bn＝1＋＝1＋. an7

n－2

771

－∞，?和?，＋∞?上分别是单调减函数， ∵函数f(x)＝1＋在?2??2?7?x－2

∴b3

∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1. 14．[解答] (1)10年后学生人数为b (1＋4.9?)10＝1.05b. 又设今年起学校的合格实验设备为数列{an}， 则a1＝1.1a－x，an＋1＝1.1an－x，(*) 令an＋1＋λ＝1.1(an＋λ)，则an＋1＝1.1an＋0.1λ，与(*)式比较知λ＝－10x，故数列{an－10x}是首项为1.1a－11x，公比为1.1的等比数列，

－

所以an－10x＝(1.1a－11x)·1.1n1，

－

an＝10x＋(1.1a－11x)·1.1n1. a10＝10x＋(1.1a－11x)·1.19≈2.6a－16x.

2.6a－16xa1

由题设得＝2×，解得x＝a.

1.05bb32

1

即每年更换旧设备为a套．

321a

(2)全部更换旧设备需a÷＝16年．

232

即按此速度全部更换旧设备需16年．

15．[解答] (1)证明：A＝0时，an＋Sn＝B，

??an＋Sn＝B，

当n≥2时，由?得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝0，

?an－1＋Sn－1＝B，?

an1即＝，所以，数列{an}是等比数列． an－12

(2)设数列的公差为d，分别令n＝1,2,3得：

a1＋S1＝A＋B，??

?a2＋S2＝2A＋B，??a3＋S3＝3A＋B，

111111即等差数列{an}是常数列，所以Sn＝n；又＋＝，则＋＝，

SpSqS11pq112

pq－11p－11q＝0，(p－11)(q－11)＝11，

2＝A＋B，??

即?2d＋3＝2A＋B，??5d＋4＝3A＋B，

A＝1，??

解得?B＝1，

??d＝0，

???p－11＝1，?p＝12，?因p

16．[解答] (1)证明：因为2Sn＝pan－2n，所以2Sn＋1＝pan＋1－2(n＋1)，所以2an＋1＝pan

＋1－pan－2，

p2p

所以an＋1＝an＋，所以an＋1＋1＝(a＋1)，

p－2p－2p－2n

2

因为2a1＝pa1－2，所以a1＝>0，所以a1＋1>0，

p－2

an＋1＋1p所以＝≠0，所以数列{an＋1}为等比数列．

an＋1p－2

pp

(2)由(1)知an＋1＝?p－2?n，所以an＝?p－2?n－1，

????

p4

又因为a2＝3，所以?p－2?2－1＝3，所以p＝4或p＝(舍去)，所以an＝2n－1.

3??

n*

(3)由(2)得bn＝log22，即bn＝n(n∈N)，数列{cn}中，bk(含bk项)前的所有项的和是：(1

k?k＋1?k－

＋2＋3＋?＋k)＋(20＋21＋22＋?＋2k2)×2＝＋2－2，

2

当k＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2 011， 当k＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2 011， 又因为2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数，

所以当m＝10＋(1＋2＋22＋?＋28)＋467＝988时，Tm＝2011，所以存在m＝988使得Tm＝2 011.