南阳市2016春期中高二理数

2016春期期中考试 高二数学（理）

一.选择题：

1.复数

2?i的虚部为 1?2iA．i B．-1 C．?i D．1

2.如果命题p(n)对n＝k成立(n∈N*)，则它对n＝k＋2也成立，若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( )．

A．p(n)对一切正整数n都成立 B．p(n)对任何正偶数n都成立 C. p(n)对任何正奇数n都成立 D．p(n)对所有大于1的正整数n都成立

3．已知函数f(x)=3x+1，则lim1A．? 34．直线y＝

f(1??x)?f(1)的值为

?x?0?x12B． C． D．0

3311x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为 221A．－2 B．1 C．－

2D．－1

5.已知复数z的模等于2，则|z?i|的最大值等于 A.1 B.2 C.

5 D.3

6.曲线

在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A．

B．1 C．2 D．3

7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”正确的反设 为

Ａ．a，b，c都是奇数 Ｂ．a，b，c都是偶数 Ｃ．a，b，c中至少有两个奇数

Ｄ．a，b，c中至少有两个奇数或都是偶数

8. 已知函数f?x??x?3x?c有两个不同零点，且有一个零点恰为f?x?的极大值点，则

3c的值为

1

A. 0 B. 2 C. ?2 D. ?2或2

9.已知A．|

，下列值：|≥

≥

，

，||的大小关系为

B．≥||≥

C．= ||=

D．= ||≥

10.设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系

中，不可能正确的是

A． B． C． D． 11.设函数

是定义在

，则不等式

A．

B．

上的可导函数，其导函数为

，且有

的解集为

C．

D

?21??x?x(x＜0)12.已知函数f(x)??，若函数y?f(x)?kx有3个零点，则实数k的2??In(x?1)(x?0)取值范围为

A．(0, ) B．(1,2) C．(

1,1) D．(2, ＋∞) 2二.填空题：

13.?（x?x2?sinx)dx? ____________________

-11 2

14.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，

____________________．

则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是

15.函数f(x)的导函数f?(x)?a(x?1)(x?a),若f(x)在x=a处取到极小值，则a的取值范围是____________________ 16.先阅读下面的文字：“求

的值时，采用了如下的方法：令

＝x，则有＝x，从而解得x＝(负值已舍去)”；运用类比的

方法，计算：

＝ .

三.解答题：

17.（本小题满分10分）

已知复数z?2i2，若z?az?b?1?i. 1?i（I）求z； （II）求实数a,b的值.

18.（本小题满分12分） 已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M

处的切线恰好与直线x+9y=0垂直． （1）求实数a，b的值；

（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

18.（本小题满分12分）设

（Ⅰ）比较与的大小；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．

20.（本小题满分12分） 是否存在常数，使等式

3

对于一切都成立?若不存在，说明

理由；若存在，请用数学归纳法证明？(提示:可先令n=1,2探求出a,b的值再证明)

21．（本小题满分12分）设函数f(x)?a?xlnx，g(x)?x3?x2?3. x（1）若存在x1,x2?[0,2]，使得g(x1)?g(x2)?M成立，求满足上述条件的最大整数M；

12 解：(1)存在x1,x2?[0,2],使得g(x1)?g(x2)?M成立

32（2）如果对任意的s,t?[,2]，都有f(s)?g(t)成立，求实数a的取值范围.

等价于:[g(x1)?g(x2)]max?M, …………3分 考察g(x)?x?x?3,g'(x)?3x2?2x?3x(x?),

3 2x g'(x) g(x) 0 2(0,) 32 32(,2] 32 0 ? 递减 0 极(最)小值?85 27? 递增 ?3 1 285由上表可知:g(x)min?g()??,g(x)max?g(2)?1,

327112, [g(x1)?g(x2)]max?g(x)max?g(x)min?27所以满足条件的最大整数M?4; …………6分

1a?xlnx?1恒成立

2x等价于a?x?x2lnx恒成立, …………8分

(2) 当x?[,2]时,f(x)?记h(x)?x?xlnx,所以a?hmax(x)

2h'(x)?1?2xlnx?x, h'(1)?0.

记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?[,1),1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0 即函数h(x)?x?xlnx在区间[,1)上递增,

记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?(1,2],1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0

即函数h(x)?x?xlnx在区间(1,2]上递减, …………10分

221212x?1,h(x)取到极大值也是最大值h(1)?1

所以a?1 …………12分

4