数学分析（华东师大）第一章实数集与函数

§3 函 数概念

2

13

v 与 v = 1 - x( 它们的定义域取为各自的存在域) 相继复合而得的复合函数为

y= sin

*

1 - x, x ∈ [ - 1 , 1].

2

2

注当且仅当E≠1?(即D∩g( E)≠1?)时,函数f与g才能进行复合.

例如 , 以 y = f ( u) = arc sin u , u∈ D = [ - 1 , 1 ] 为外函 数 , u = g( x ) = 2 + x, x ∈E = R 为内函数, 就不能进行复合 .这是因为外函数的定义域 D = [-1 , 1 ] 与 内函数的值域 g( E ) = [ 2 , + ∞) 不相交 .

五 反函数

函数y=f(x)的自变量x与因变量y的关系往往是相对的.有时我们不仅 要研究y随x而变化的状况,也要研究x随y而变化的状况.对此,我们引入反 函数概念.

设函数

y= f ( x ) , x∈D

满足: 对于值域 f ( D)中的每一个值 y, D 中有且只有一个值x 使得

f (x)=

y,

(3)

则按此对应法则得到一个定义在 f ( D) 上的函数, 称这个函数为 f 的反函数, 记 作

f : f ( D) → D,

y 組 x

或

x = f ( y) , y ∈ f (D).

- 1 - 1

(4)

注1函数 f 有反函数, 意味着 f是D 与 f ( D)之间的一个一一映射 .我们 称 f - 1 为映射 f的逆映射, 它把集合 f ( D) 映射到集合 D, 即把 f ( D)中的每一 个值 f ( a) 对应到 D 中唯一的一个值 a .这时称 a 为逆映射 f 下 f ( a) 的象, 而 f ( a ) 则是 a 在逆映射f 下的原象 .

从上述讨论还可看到, 函数 f 也是函数 f 的反函数 .或者说, f 与 f 互为 反函数 .并有

f ( f ( x ) ) ≡ x , x ∈ D , f ( f ( y) ) ≡ y , y ∈ f ( D) .

注2在反函数f的表示式(4)中,是以y为自变量,x为因变量.若按习 惯仍用x作为自变量的记号,y作为因变量的记号,则函数(3)的反函数(4)可 改写为

y= f ( x ) , x ∈ f (D).

例如,按习惯记法,函数y= ax+ b(a≠0),y= a(a>0,a≠1)与y=sin

x

- 1

-1

- 1 - 1

- 1

- 1

- 1

- 1

(5) x,

14

第一章 实数集与函数

ππx∈ - , 的反函数分别是

2 2

x - b y=

, y = log a x 与 y = arcsin x. a -1

应该注意,尽管反函数f的表示式(4)与(5)的形式不同,但它们仍表示同 一个函数,因为它们的定义域都是f(D),对应法则都是f,只是所用变量的 记号不同而已.

六 初等函数

-1

在中学数学中, 读者已经熟悉基本初等函数有以下六类: 常量函数 y = c ( c 是常数 ) ; 幂函数 y = xα(α为实数 ) ; 指数函数 y = a( a > 0 , a≠ 1) ; 对数函数 y = log a x ( a > 0 , a≠1 ) ;

三角函数 y = sin x( 正弦函数 ) , y = cos x ( 余弦函数 ) ,

y = tan x( 正切函数) ,y = cot x( 余切函数) ; 反三角函数

y = arcsin x( 反正弦函数) ,y = arccos x ( 反余弦函数) , y = arctan x ( 反正切函数) ,y = arccot x( 反余切函数).

这里我们要指出,幂函数y=x和指数函数y=a都涉及乘幂,而在中学 数学课程中只给出了有理指数乘幂的定义.下面我们借助确界来定义无理指数 幂,使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂,并保持有理指数幂的基本性质.

定义 2 给定实数 a > 0 , a≠1 .设 x 为无理数, 我们规定

α

x

x

a=

x

sup{a

r

r

r为有理数},当a>1时,

( 6) ( 7)

inf{a

r

r 为有理数} , 当 0

注 1 对任一无理数 x , 必有有理数 r0 , 使 x 1 时有 a

r

r

0

.这表明非空数集

{ar r< x , r 为有理数}

有一个上界ar0 .由确界原理,该数集有上确界,所以(6)式右边是一个确定的数. 同理, 当0

注2由§2 习题8 可知, 当 x 为有理数时, 同样可按( 6 ) 式和(7 ) 式来表示 a, 而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是一致的 .这样, 无论 x 是有理 数还是无理数, a都可用(6 ) 式和( 7) 式来统一表示 .

定义3 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数,

x

x

§3 函 数概念

15

统称为初等函数 .

不是初等函数的函数, 称为非初等函数 .如在本节第二段中给出的狄利克雷 函数和黎曼函数, 都是非初等函数 .

习 题

1 . 试作下列函数的图象:

( 1) y = x+ 1 ; (2) y = ( x + 1) ; ( 3) y = 1 - ( x + 1)2;

3 x , | x | > 1 ,

( 5) y =

x, | x | < 1 , 3, | x | = 1 .

x 1 2 . 试比较函数 y = a与 y = log a x 分别当 a = 2 和 a = 时

2

的图象 .

3

2

2

(4) y = sgn( sin x);

3. 根据图1 - 2 写出定义在[ 0 , 1 ] 上的分段函数 f1 ( x ) 和 f2 ( x )的解析表示式 .

4 . 确定下列初等函数的存在域:

( 1) y = sin( sin x) ; ( 2) y = lg( lg x) ;

xx ( 3) y = arcsin lg ; ( 4) y = lg arcsin

10 10

5 . 设函数

f ( x) =

2 + x, 2x,

x ?0 , x >0.

.

图 1 - 2

求: (1 ) f ( - 3) , f (0 ) ,f ( 1) ; (2 ) f (Δx) - f ( 0) , f ( - Δx) - f ( 0) (Δx >0).

1 6 . 设函数 f ( x )= ,求

1 + x

2 1 f (2 + x) , f ( 2 x) , f ( x) , f ( f ( x) ),f .

f ( x )

7 . 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:

( 1) y = (1 + x) ; (2 ) y = ( arcsin x) ; ( 3) y =lg(1+ 1 + x); 8 . 在什么条件下, 函数

2

20

2 2 2 sin x

(4 ) y = 2.

的反函数就是它本身?

ax +b y = cx + d 9 . 试作函数 y = arcsin (sin x )的图象 . 10 . 试问下列等式是否成立:

16

第一章 实数集与函数

.

( 1) tan( arctan x) = x , x∈R ;

π

( 2) arctan( tan x) = x , x≠ kπ+ 11 .

, k = 0 , ±1, ±2, 2

试问 y = | x | 是初等函数吗?

12 . 证明关于函数 y = [ x ]的如下不等式: ( 1) 当 x > 0 时 , 1 - x

1

?1; x 1

< 1 - x. x

§4 具有某些特性的函数

在本节中, 我们将介绍以后常用到的几类具有某些特性的函数 .

一 有界函数

定义 1 设 f 为定义在 D 上的函数 .若存在数 M( L) , 使得对每一个 x∈D 有

f ( x ) ? M ( f ( x) ? L) ,

则称 f 为 D 上的有上( 下) 界函数,M( L)称为 f在D 上的一个上( 下) 界 .

根据定义,f在D上有上(下)界,意味着值域f(D)是一个有上(下)界的数 集.又若M(L)为f在D上的上(下)界,则任何大于(小于)M(L)的数也是f 在D上的上(下)界.

定义2 设 f 为定义在 D 上的函数 .若存在正数 M , 使得对每一个 x ∈D 有

则称 f 为 D 上的有界函数 .

根据定义,f在D上有界,意味着值域f(D)是一个有界集.又按定义不难 验证:f在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界.(1)式的几何意 义是:若f为D上的有界函数,则f的图象完全落在直线y=M与y=-M之 间.

例如, 正弦函数sin x 和余弦函数cos x 为 R 上的有界函数, 因为对每一个 x∈R 都有| sin x | ?1 和| cos x | ?1.

关于函数f在数集D上无上界、无下界或无界的定义,可按上述相应定义 的否定说法来叙述.例如,设f为定义在D上的函数,若对任何M(无论M多 大),都存在x0∈D,使得f(x0)>M,则称f为D上的无上界函数.

作为练习, 读者可自行写出无下界函数与无界函数的定义 .

f (x)

?M,

(1)