数学分析（华东师大）第一章实数集与函数

§2 数集2确界原理

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并给出确界定义和确界原理 .

一 区间与邻域

设a、b∈R,且a

满足关系式x?a 的全体实数x的集合记作[a, +∞),这里符号∞读作“无 穷大”, +∞读作“正无穷大”.类似地,我们记

( - ∞ , a] ={x

x ? a} , ( a , + ∞ ) ={x

x >a},

( - ∞ , a) ={x x

设 a∈R , δ> 0 .满足绝对值不等式 | x - a | <δ的全体实数 x 的集合称为点 a 的δ邻域, 记作 U ( a;δ) , 或简单地写作 U( a ) , 即有 U( a; δ) ={x

点 a 的空心δ邻域定义为

x - a <δ} = ( a - δ, a + δ) .

x - a <δ},

U°( a;δ) = { x 0<

包含点 a .

此外, 我们还常用到以下几种邻域:

它也可简单地记作 U°( a) .注意, U°( a;δ) 与 U( a;δ) 的差别在于: U°( a;δ) 不

点 a 的δ右邻域 U + ( a;δ) = [ a , a + δ) , 简记为 U + ( a) ; 点 a 的δ左邻域 U - ( a;δ) = ( a - δ, a] , 简记为 U - ( a) ; ( U- (a)与U+ ( a)去除点a 后,分别为点a 的空心δ左、右邻域,简记为 U°- (a)与U°+ (a) .)

∞邻域 U( ∞) = {x

|x|>M},其中M为充分大的正数(下同);

+ ∞邻域 U( + ∞ ) = { x | x >M}; - ∞邻域 U( - ∞ ) = { x | x < - M} . 二 有界集·确界原理

定义1 设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切x∈S,都 有x?M(x?L),则称 S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为 S的一个上界 ( 下界) .

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第一章 实数集与函数

若数集 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集 .若 S 不是有界集, 则称 S 为无界集 .

例1 证明数集N + = { n |n 为正整数} 有下界而无上界 .

证 显然, 任何一个不大于1 的实数都是 N + 的下界, 故 N + 为有下界的数 集 .

为证N + 无上界, 按照定义只须证明: 对于无论多么大的数 M, 总存在某个 正整数 n0 ( ∈N + ) , 使得 n0 >M.事实上, 对任何正数 M ( 无论多么大) , 取 n0 = [ M ] + 1 ① , 则n0 ∈N + , 且 n0 >M.这就证明了N + 无上界 .

读者还可自行证明: 任何有限区间都是有界集, 无限区间都是无界集; 由有 限个数组成的数集是有界集 .

若数集 S 有上界, 则显然它有无穷多个上界, 而其中最小的一个上界常常 具有重要的作用, 称它为数集 S 的上确界 .同样, 有下界数集的最大下界, 称为 该数集的下确界 .下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.

定义2 设 S 是R 中的一个数集.若数η满足: ( i)对一切 x∈S , 有 x?η, 即η是 S 的上界;

( ii)对任何α<η, 存在 x0 ∈S , 使得 x0 >α, 即η又是 S 的最小上界, 则称数η为数集 S 的上确界, 记作

η = sup S.

定义3 设 S 是R 中的一个数集.若数ξ满足: ( i)对一

切 x∈S , 有 x?ξ, 即ξ是 S 的下界;

( ii)对任何β>ξ, 存在 x0 ∈S , 使得 x0 <β, 即ξ又是 S 的最大下界, 则称数ξ为数集 S 的下确界, 记作

ξ= inf S .

上确界与下确界统称为确界 .

例2设S={x|x为区间(0,1)中的有理数} .试按上、下确界的定义验证: sup S = 1 , inf S = 0 .

解 先验证 sup S = 1 :

( i)对一切 x∈S , 显然有 x?1 , 即1 是 S 的上界 .

(ii)对任何α<1,若α?0,则任取x0∈S都有x0>α;若α>0,则由有理数 集在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0,即存在x0∈S,使得x0 >α.

类似地可验证 inf S = 0 .

读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1 和0;对于数集

① ②

②

[x]表示不超过数x的最大整数,例如[2.9]=2,[ -4 .1]= -5.

sup是拉丁文supremum(上确界)一词的简写;下面的inf是拉丁文infimum(下确界)一词的简写.

§2 数集2确界原理

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n

( - 1) n = 1 ,2, n

N + = 1 , 而没有上确界. E=

1 , 有 supE = , inf E = - 1 ; 正整数集 N + 有下确界inf

2

注1由上( 下) 确界的定义可见, 若数集 S 存在上( 下) 确界, 则一定是唯一 的 .又若数集 S 存在上、下确界, 则有 inf S?sup S .

注 2 从上面一些例子可见, 数集 S 的确界可能属于 S , 也可能不属于 S . 例 3 设数集 S 有上确界.证明

η = sup S ∈ S !η = max S.

证 a) 设η= supS∈S , 则对一切 x ∈S 有 x?η, 而η∈ S , 故η是数集 S 中最大的数 , 即 η= max S .

?) 设η=max S,则η∈S;下面验证η=sup S: (i)对一

切x∈S,有x?η, 即η是S的上界;

( ii)对任何α<η, 只须取 x0 = η∈ S , 则 x0 >α.从而满足η= sup S 的定 义 .

关于数集确界的存在性, 我们给出如下确界原理 .

定理1.1 ( 确界原理) 设 S 为非空数集 .若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界 , 则 S 必有下确界.

证 我们只证明关于上确界的结论, 后一结论可类似地证明 .

为叙述的方便起见, 不妨设 S 含有非负数 .由于 S 有上界, 故可找到非负整 数 n , 使得

1) 对于任何 x∈ S 有 x

2) 存在 a0 ∈ S , 使 a0 ? n .

对半开区间[n,n+1)作10等分,分点为n.1,n.2, , 9 中的一个数 n1 , 使得

1 1) 对于任何 x∈ S 有 x

2) 存在 a1 ∈ S , 使 a1 ? n . n1 .

1再对半开区间[n.n1,n.n1 + )作10等分,则存在0,1,2,

10

数 n2 , 使得

1 1) 对于任何 x∈ S 有 x

2) 存在 a2 ∈ S , 使 a2 ? n . n1 n2 .

①

①

,n.9,则存在0,1,2,

, 9 中的一个

记号max是maximum(最大)一词的简写,η=max S表示数η是数集S中最大的数.以下将出现 的记号

min是minimum(最小)一词的简写,min S表示数集S中最小的数.

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第一章 实数集与函数

继续不断地10 等分在前一步骤中所得到的半开区间, 可知对任何 k = 1 , 2 , ,存在0,1,2,

, 9 中的一个数 nk ,使得

1 nk + ; 10 k

nk .

nk

.以下证明η

(1)

1) 对于任何 x∈ S 有 x

将上述步骤无限地进行下去,得到实数η=n.n1 n2

=sup S .为此只需证明:

(i) 对一切x∈S有x?η;(ii)对任何α<η,存在a′∈S使α

倘若结论( i ) 不成立, 即存在 x ∈ S 使 x >η, 则可找到 x 的 k 位不足近似 xk , 使

从而得

xk >珔ηk = n .n1 n2

1 nk + , k10

1 nk + , 10 k

x > n .n1 n2

但这与不等式(1 ) 相矛盾 .于是( i) 得证 .

现设α<η,则存在k使η的k位不足近似ηk >珔αk ,即

n .n1 n2

nk >珔αk .

根据数η的构造,存在a′∈S使a′?ηk ,从而有

a′?ηk >珔αk ?α,

即得到α

在本书中确界原理是极限理论的基础, 读者应给予充分的重视 .

例4设A、B为非空数集,满足:对一切x∈A和y∈B有x?y.证明:数 集A有上确界,数集B有下确界,且

sup A ? inf B.

证 由假设, 数集 B 中任一数y 都是数集 A 的上界,A 中任一数 x 都是 B 的下界, 故由确界原理推知数集 A 有上确界, 数集 B 有下确界 .

现证不等式(2).对任何y∈B,y是数集A的一个上界,而由上确界的定义 知,supA是数集A的最小上界,故有supA?y.而此式又表明数sup A是数集 B 的一个下界 , 故由下确界定义证得 sup A?infB .

例 5 设 A 、B 为非空有界数集 , S = A ∪ B .证明 : ( i) sup S = max{sup A , sup B};

( ii) inf S = min{inf A , inf B}.

证由于 S = A ∪B 显然也是非空有界数集, 因此 S 的上、下确界都存在 . ( i)对任何 x∈S , 有 x∈A 或 x∈Ba x?sup A 或 x?sup B , 从而有 x ?

(2)