材料力学题库1 - 图文

解题指导：（1）在荷载突变处、中间约束处、截面变化处（惯性矩I突变处）及材料变化处（弹性模量E值突变处）均应作为分段积分的分段点。

（2）中间铰链连接了两根梁，也应作为分段点。

（3）各分段点处都应列出连续条件，中间铰链只限制了两梁在该点的相对位移，不能限制转动，故只有一个挠度连续条件。

例5.2 变截面简支梁受到集中力P的作用，如图 (a)所示，试用叠加法计算梁自由端B处的挠度vB和转角? B。

解：由于梁在C截面处截面尺寸发生变化，须分两段计算变形，再进行叠加。首先将梁沿截面变化处C截开，把CB段梁暂时看作是在C处固支的悬臂梁（图 (b)），利用材料力学教材上的典型梁变形表可得B点位移：

?B1P(l/2)PlP(l/2)2Pl2vB1????3EI24EI（↓） 2EI8EI（ ），

33再求AC段C截面位移。将外力P向C点平移，C点受两个外力：集中力P和集中力偶Pl/2。查表可得

P?l/2??Pl/2??l/2?3Pl2?C???2E(2I)E(2I)16EIP?l/2??Pl/2??l/2?5Pl3vC???3E(2I)2E(2I)96EI

注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的C截面上，AC段C截面的位移必然会牵动CB段，因此将梁CB段下移vC，再使整个CB段转动?C角，则CB段即与图 (c)的AC段衔接而得到整个梁的变形，如图 (d)。在此拼合过程中B点又获得额外的转角?B2和挠度vB2，由图c可知

322?B2??C

vB2l5Pl33Pl2l14Pl3?vC??C????296EI16EI296EI

Pl23Pl25Pl2???8EI16EI16EI

于是B端的挠度和转角为

?B??B1??B2vB?vB1?vB2Pl314Pl33Pl3???24EI96EI16EI

解题指导：此例题设所给出的结构无法由手册或表格中查到，因此对结构进行了分解，将其等效化处理为可查表结构，然后再对结构叠加。叠加原理，即可以用于荷载的叠加，也可以用于结构的叠加。

【实战训练】

5－1 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明积分常数如何确定。

5－2 变截面悬臂梁受力如图所示。试写出其挠曲线的近似微分方程，并说明积分常数如何确定。

5－3 试用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。

答案： （a）wA＝5ql4 / 768EI（?） ，

（b）wA＝qa4 / 8EI（?），?B＝0 ， （c）wA＝－ql4 / 16EI（?），?B＝－ql3/ 12EI（逆时针） （d）wA＝3FPl3 / 76EI（?），?B＝3ql2/ 8EI（逆时针） （e）wA＝41qa4 / 24EI（?），?B＝3qa3/ 4EI（逆时针） （f）wA＝0，?B＝ql3/ 72EI（顺时针）

5－4 试用叠加法确定图示梁在中间铰B处的挠度wB及FP力作用点的位移wD 。设AB和BC两梁的EI相同。

答案： wB＝qb4 / 8EI＋2FPb3/9 EI（?），

wD＝qb4 / 12EI＋4FP（a3/9 ＋b3）/27EI（?）。

5－5 图示梁，右端C由拉杆吊起。已知梁的截面为200mm×200mm的正方形，材料

的E1＝10GPa ，拉杆的截面积为A＝2500mm2 ，其E2＝200GPa ，试用叠加法求梁跨中截面D的垂直位移。

答案： wD＝6.37mm（?）

5－6 图示一悬臂的工字钢梁，长l＝4m ，在自由端作用集中力FP＝10kN ，已知钢的?? ? ＝170 MPa ，?? ? ＝100 MPa ，E＝210GPa ，梁的许用挠度?w?＝l / 400 ，试按强度和刚度条件选择工字钢型号。

答案：选用No.32a工字钢。