高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性

即3a＋2b＝－2.①

由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝即b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.

13．已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x，如果直线y＝x＋a与曲线y＝f(x)恰有两个不同的交点，则实数a的值为( ) A．2k (k∈Z) C．0 答案 D

解析 ∵原函数是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，所以f(－x)＝(－x)，所以f(x)＝x，即当－1≤x≤0时，f(x)＝x；当0≤x≤1时，f(x)＝x.又f(x)的周期为2，故作出函数f(x)的图象，如图所示．

2

2

2

2

2

2

b＋2

2

，

1

B．2k或2k＋ (k∈Z)

41

D．2k或2k－(k∈Z)

4

1

观察可得a＝2k或2k－. 4

14．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________． 答案 ①②⑤

解析 对于①，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期，故①正确；对于②，由于函数f(x)是偶函数，且函数f(x)是以2为周期的函数，则f(2－x)＝

f(x－2)＝f(x)，即f(2－x)＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故②正确；对

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于③，由于函数f(x)是偶函数且在[－1,0]上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数

f(x)在[0,1]上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f(x)是以2为周期的函数且在[－1,0]

上为增函数，由周期函数的性质知，函数f(x)在[1,2]上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(2)＝f(0)，故⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.

15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋

f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解 (1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．

证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝1

2

f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|)

∴0<|x－1|<16，解之得－15

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