高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性

A组 专项基础训练 (时间：35分钟)

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( ) A．y＝log2|x| 2－2C．y＝

2答案 A

解析 对于A，函数y＝log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B，函数y＝cos 2x2－22－x在区间(1,2)上不是增函数；对于C，函数y＝不是偶函数；对于D，函数y＝log2

22＋x不是偶函数，故选A.

x－xB．y＝cos 2x 2－xD．y＝log2

2＋xx－x?1?2

2．已知函数f(x)＝ln(1＋9x－3x)＋1，则f(lg 2)＋f?lg?等于( )

?2?

A．－1 B．0 C．1 D．2 答案 D

解析 设g(x)＝ln(1＋9x－3x)＝f(x)－1，

2

g(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)＝ln

∴g(x)是奇函数，

＝－g(x)． 2

1＋9x－3x1

?1??1?∴f(lg 2)－1＋f?lg ?－1＝g(lg 2)＋g?lg ?＝0， ?2??2??1?因此f(lg 2)＋f?lg ?＝2. ?2?

3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x，则f(2 019)等于( )

A．－2 B．2 C．－98 D．98 答案 A

解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数，

∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×1＝－2， 即f(2 019)＝－2.

4．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有则( )

A．f(3)

2

2

fx2－fx1

<0，

x2－x1

B．f(1)

13

C．f(－2)

D．f(3)

解析 由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，

∴f(3)

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋2x，若f(2－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2,1) 答案 C

解析 ∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由

2

2

2

B．(－1,2)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，

解得－2

6．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 答案 －－x－1

解析 ∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0，

f(－x)＝－x＋1＝－f(x)，

即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.

7．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是____________________． 答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)

解析 由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．

8．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；

?1??3??5?x③当0≤x≤1时，f(x)＝2－1，则f??＋f(1)＋f??＋f(2)＋f??＝________.

?2??2??2?

答案

2

解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，

?1??3??5??1??1??1??1??1?∴f??＋f(1)＋f??＋f(2)＋f??＝f??＋f(1)＋f?－?＋f(0)＋f??＝f??＋f(1)－f??

?2??2??2??2??2??2??2??2??1??1?10

＋f(0)＋f??＝f??＋f(1)＋f(0)＝22－1＋2－1＋2－1＝2.

?2??2?

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1三、解答题

－x＋2x，x>0，??

9．已知函数f(x)＝?0，x＝0，

??x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解 (1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 于是x<0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx， 所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合f(x)的图象知?所以1

故实数a的取值范围是(1,3]．

10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)． (1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]，

∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)＝－x＋6x－8， 又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x＋6x－8， 即f(x)＝x－6x＋8，x∈[2,4]．

(3)解 ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.

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2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

是奇函数．

??a－2>－1，??a－2≤1，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0.

B组 专项能力提升 (时间：25分钟)

11．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是( )

A.??5?1，3???

B.???

－∞，53??? C．(1,3) D.??5?3，＋∞???

答案 A

解析 ∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－10可转化为

f(m－2)>－f(2m－3)，

∴f(m－2)>f(－2m＋3)， ∵f(x)是减函数， ∴m－2<－2m＋3， ?－1

?－1<2m－3<1，??m－2<－2m＋3.

∴1

. 12．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，??

ax＋1，－1≤x<0，?bx＋2

，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f?1?2???＝f??3?2????

，则a＋3b的值为________．?x＋1

?答案 －10

解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数， 所以f??3?2???＝f???－12???

， 且f(－1)＝f(1)，故f??1?2???＝f??1?－2???

， 1b从而2＋21＝－1a＋1，

2

＋12 f(x)＝

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