高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性

即ln(a＋x－x)＝0，∴a＝1.

命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合

例4 (1)(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，

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f(5)＝

2a－3

，则实数a的取值范围为( ) a＋1

B．(－2,0) D．(－1,2)

A．(－1,4) C．(－1,0)

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A．f(－25)

(2)D

解析 (1)∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，

2a－32a－3a－4

∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，

a＋1a＋1a＋1解得－1

(2)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，

f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数， 且满足f(x－4)＝－f(x)， 得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，

f(x)在R上是奇函数，

∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， ∴f(－1)

思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数?f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.

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(1)若f(x)＝ln(e＋1)＋ax是偶函数，则

3xa＝________.

(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．

3

答案 (1)－ (2)(－5,0)∪(5，＋∞)

2

解析 (1)函数f(x)＝ln(e＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e

3x3x3x3x－3x2

＋1)－ax＝

1＋e1＋e2ax2ax3x2ax＋3x3xln(e＋1)＋ax，化简得ln 3x6x＝2ax＝ln e，即3x(e6x＝e，整理得e＋1＝e

e＋ee＋e＋1)，所以2ax＋3x＝0， 3

解得a＝－.

2

(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. 又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x＋4x. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x－4x (x<0)，

2

2

x－4x，x>0，??

∴f(x)＝?0，x＝0，

??－x2－4x，x<0.

2

22

①当x>0时，由f(x)>x得x－4x>x，解得x>5； ②当x＝0时，f(x)>x无解；

③当x<0时，由f(x)>x得－x－4x>x，解得－5

综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．

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2．忽视定义域致误

k－2x典例 (1)若函数f(x)＝x在定义域上为奇函数，则实数k＝________.

1＋k·2

??x＋1，x≥0，

(2)已知函数f(x)＝?

?1，x<0，?

2

则满足不等式f(1－x)>f(2x)的x的取值范围是

2

________．

易错分析 (1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1. (2)本题易出现以下错误：

由f(1－x)>f(2x)得1－x>2x，忽视了1－x>0导致解答失误．

2

2

2

k－2－xk·2x－1

解析 (1)∵f(－x)＝， －x＝x1＋k·22＋k∴f(－x)＋f(x) ＝

k－2x2＋k＋k·2－1·

xx1＋k·22＋k2＋1

. x2＋k2

2xxx1＋k·2

x

k2－1＝x1＋k·2

由f(－x)＋f(x)＝0可得k＝1， ∴k＝±1.

??x＋1，x≥0，

(2)画出f(x)＝?

?1，x<0?

2

2

的图象，

由图象可知，若f(1－x)>f(2x)，

??1－x>0，

则?2

??1－x>2x，

2

?－1

?－1－2

得x∈(－1，2－1)．

答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)

温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域． (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．

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[方法与技巧]

1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题

①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]

1．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．

2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．

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