高考数学压轴专题最新备战高考《平面解析几何》技巧及练习题

由余弦定理得：4c?PF1?PF2?2PF1PF2cos2?4c2?4a12??a12?a2??3a12?a22，?2222?22?PF1?PF2?PF1PF2， 3314?2?4，又e2?2，?e12?， 2e1e25?e1?25. 5故选：D. 【点睛】

本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.

x2318．已知双曲线C:2?4y2?1(a?0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线

a4E:y2?2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1:4x?3y?6?0和l2:x??1距离之和的最小值为（ ）

A．1 【答案】B 【解析】

分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出a?2B．2 C．3 D．4

3，从而可确定双曲线的方程和焦点坐4标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线l2的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．

x2详解：由双曲线方程2?4y2?1(a?0)可得，

a双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为y??∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于1x，即x?2ay?0． 2a3， 4∴a1?4a2?332，解得a?，

444x2∴双曲线的方程为?4y2?1，

3∴双曲线的焦点为(1,0)．

又抛物线E:y?2px的焦点与双曲线C的右焦点重合， ∴p?2，

∴抛物线的方程为y?4x，焦点坐标为F(1,0)．如图，

22

设点M到直线l1的距离为|MA|，到直线l2的距离为|MB|，则MB?MF， ∴MA?MB?MA?MF．

结合图形可得当A,M,F三点共线时，MA?MB?MA?MF最小，且最小值为点F到直线l1的距离d?故选B．

点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：

（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．

4?1?64?322?2．

x2y219．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别

ab为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为

A．C．

6 3B．D．

3 32 31 3【答案】A 【解析】

以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点?0,0?，半径为r?a，圆的方程为

x2?y2?a2，

直线bx?ay?2ab?0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即

d?2aba?b22?a，

2整理可得a2=3b2，即a?3a?c2?22?,即2a2?3c2，

c26c22从而e?2?，则椭圆的离心率e??， ?a33a3故选A.

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于

a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

x2y220．若点O和点F分别为椭圆??1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，

43则OPgFP的最大值为（ ） A．4 【答案】C 【解析】 【分析】

B．5

C．6

D．7

??uuuruuurPx,y设??，由数量积的运算及点P在椭圆上，可把OP?FP表示成为x的二次函数，根

据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】

设P?x,y?，F??1,0?,O?0,0?，则

uuuruuurOP??x,y?,FP??x+1,y?，则 uuuruuurOP?FP?x2?x?y2，

32x2y22因为点P为椭圆上，所以有：??1即y?3?x，

443uuuruuur3212222所以OP?FP?x?x?y?x?x?3?x??x?2??2

44又因为?2?x?2，

所以当x?2时，OP?FP的最大值为6 故选：C 【点睛】

本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.

uuuruuur