高考数学压轴专题最新备战高考《平面解析几何》技巧及练习题

【最新】数学复习题《平面解析几何》专题解析

一、选择题

x2y21．已知曲线C:2?2?1?a＞0，b＞0?的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，Pabuuuuvuuuv是双曲线在第一象限上的点，MO?OP，直线PF2交双曲线C于另一点N，若

PF1?2PF2，且?MF2N?120?则双曲线C的离心率为（ ）

A．23 3B．7 D．2

C．3 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意结合双曲线的定义可得PF1F2中，由余弦定理可1?4a,PF2?2a ，在三角形PF得4c2?20a2?8a2，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】

由题意，PF1?2PF2，由双曲线的定义可得，PF1?PF2?2a ，可得

PF1?4a,PF2?2a ，

由四边形PF1MF2为平行四边形，又?MF2N?120?，可得?F1PF2?120?， 在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2?16a2?4a2?2?4a?2a?cos120? ， 即有4c2?20a2?8a2，即c2?7a2，可得c?7a，即e?c?7. a

【点睛】

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式e?c； a②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

x2y22．已知抛物线x＝16y的焦点为F，双曲线??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P

452

是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF1|的最小值为（ ） A．5 【答案】C 【解析】 【分析】

由题意并结合双曲线的定义可得

B．7

C．9

D．11

PF?PF1?PF?(PF2?4)?PF?PF2?4?FF2?4，然后根据两点间的距离公

式可得所求最小值． 【详解】

x2y2由题意得抛物线x?16y的焦点为F?0,4?，双曲线??1的左、右焦点分别为

452F1??3,0?,F2?3,0?．

∵点P是双曲线右支上一点， ∴PF1?PF2?4．

∴PF?PF1?PF?(PF2?4)?PF?PF2?4?FF2?4?5?4?9，当且仅当

F,P,F2三点共线时等号成立，

∴PF?PF1的最小值为9． 故选C． 【点睛】

解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．

x2y23．已知双曲线E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上

ab的一点，且|PF2?2PF1|.若直线PF2与双曲线E的渐近线交于点M，且M为PF2的中点，则双曲线E的渐近线方程为( )

1A．y??x

3【答案】C 【解析】 【分析】

B．y??1x 2C．y??2x D．y??3x

△PF1F2的中位线，可得OM?a，在由双曲线定义得PF2?4a，PF1?2a，OM是

△OMF2中，利用余弦定理即可建立a,c关系，从而得到渐近线的斜率.

【详解】

根据题意，点P一定在左支上.

由PF2?2PF2?PF1?2a，得PF1及PF1?2a，PF2?4a， 再结合M为PF2的中点，得PF1?MF2?2a，

又因为OM是△PF1F2的中位线，又OM?a，且OM//PF1， 从而直线PF1与双曲线的左支只有一个交点.

222a?c?4a.——① 在△OMF2中cos?MOF2?2ac由tan?MOF2?ba，得cos?MOF2?. ——② acbc2由①②，解得2?5，即?2，则渐近线方程为y??2x.

aa故选：C. 【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.

4．直线y?kx?3与圆(x?3)2?(y?2)2?4相交于M，N两点，若|MN|?23．则k的取值范围是（ ）

?3?A．??,0?

?4?【答案】A 【解析】 【分析】

?3?B．?0,?

?4??3?,0? C．??3??D．??,0?

3?2???可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】

如图所示，设弦MN中点为D，圆心C(3,2),Qy?kx?3?kx?y?3?0

?弦心距CD?|3k?2?3|k?(?1)22?|3k?1|k?12，又|MN|厖23?|DN|3?DN2?3，

?|3k?1|??由勾股定理可得DN2?CN2?CD2?22??3，?…2?k?1?2|3k?1|k2?1剟1?|3k?1|3k2?1?(3k?1)2剟k2?1?k(4k?3)0??剟k0

4答案选A 【点睛】

圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式

x2y25．已知O为平面直角坐标系的原点，F2为双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右焦点，

abE为OF2的中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于C，D两点，

B为双曲线的右顶点，若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 【答案】B 【解析】 【分析】

由对称性可得四边形ACBD为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O，求出圆心O到BC的距离d，由四边形ACBD的内切圆经过点E，可得d?率. 【详解】

B．2

C．3 D．

23 31OF2，化简得出双曲线的离心20?，kAC?0?，B?a，由已知可设A??a，b， ab?x?a?， a有直线点斜式方程可得直线AC方程为y?0?， 令x?0，可得C?b，由直线的截距式方程可得直线BC方程为

xy??1，即bx?ay?ab?0， ab由对称性可得四边形ACBD为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O，设内切圆的半径为r， 圆心O到BC的距离为d?b?0?a?0?aba2?b2?ab?r， c又∵四边形ACBD的内切圆经过点E， ∴

ab1c?OF2??r, c22