屈成来 - 数学归纳法的教学研究

河南师范大学本科毕业论文

(k?1)?(k?2)???(3k?2)?(3k?1)?3k?(3k?1)??k?(k?1)?(k?2)???(3k?2)??8k?(2k?1)?8k?4k?4k?1?(2k?1)??2(k?1)?1?

即当n?k?1时，等式也成立。故对于任意正整数n，等式都成立。 例2：求证1?12?13???1n ?2n,n?N。证明：令b?2n，则b?b?(b?b)?(b?b)???(b?b)， 当n?2时，b?b?2(n?n?1)?2n?n?1?21， ?n?nn从而1?111?????b?(b?b)???(b?b)?b?2n， 23n即1?111?????2n。 23n例3：求证n3?5n(n?N?)能被6整除。

证明：(1)当n?1时，13?5?1?6能被6整除，命题成立。

(2)假设n?k时命题成立，即k3?5k能被6整除，

当n?k?1时，有

(k?1)3?5(k?1)?(k3?3k2?3k?1)?(5k?5) ?(k3?5k)?3k(k?1)?6因为两个连续的整数的乘积k(k?1)是偶数，所以3k(k?1)能被6整除。 则(k3?5k)?3k(k?1)?6能被6整除，即当n?k?1时命题也成立。 综上所述，对一切正整数n命题都成立。

2 数学归纳法的教学思考

2.1 数学归纳法的学生常见错误

中学生学习和理解数学归纳法，并在利用数学归纳法证明的过程中，经常出现的两方

4

河南师范大学本科毕业论文

面的困难：其一是对自然数的公理性质和证明逻辑的蕴含关系不能透彻理解，从而对数学归纳法不能准确运用；其二是在第二步的式子变换，总所周知，在数学上因式分解类的式子变形一般都是需要一定的难度和技巧[6]。因此，学生在不理解数学归纳法的基础上，加上对变形的惧怕就造成数学归纳法是中学数学教学的一大难点。

一般的学生常见错误总结如下：（1）认为“奠基”步骤完全正确，不去加以验证；（2）忽视第二步的推导，自己觉得正确就是正确的；（3）对归纳递推中的蕴涵关系不清楚，没能讲清归纳递推的实质；（4）不会利用归纳假设，也就是说对于自己建立的条件信息不会加以利用，无法全局把握试题。

例4：试证：1?2???????n?n(n?1)?1。 2k(k?1)?1， 2证明：假设n?k时等式成立，即1?2?????k?则当n?k?1时有

1?2?????k?(k?1)??(k?1)(k?2)?12k(k?1)?1?(k?1)2

即当n?k?1时等式成立。

根据数学归纳法原理可知，当n是任意自然数时，等式都成立。

这时候就可提出一个问题：为什么在解题过程中没有上文提到的“奠基”步骤呢？事实上，这道题的解题过程是错误的，错在“奠基”步骤不成立，换句话说，忽视了归纳奠基的必要性，忽视了验证的重要性，没有真正做到数学的严谨性。这就是在上文中提到的典型错误的第一种。其他的相关例子请参考文献[6]。 2.2 数学归纳法的教学难点

中学生在学习数学归纳法之前，根本对自然数的“无限和后继性”的理解不够，而数学归纳法这种从“有限”到“无限”的证明思路，内容抽象，思想新颖，对自然数的“后继性”特征和逻辑上的蕴涵关系，学生都有个逐步理解和掌握的过程；并且，在递推中P(k)到P(k?1)成立的推导和相似形式时，涉及的知识点和技巧比较多，中学生对综合类的试题本身就有一种回避的思想，再加上学校教师的教学方法的适应性等方面，就直接造成数学归纳法是教学中的难点。

总结来说，对于学生来说比较明确的难点也就是：

（1）“无穷三段论”。学生往往过于关注数学归纳法的奠基和归纳两个步骤的形式，

5

河南师范大学本科毕业论文

却在不知不觉中忽视了数学归纳法无穷递推的思想；

（2）“数学归纳法第二步”。学生往往把第二步的蕴涵关系与数学真命题（条件真且结论真）混为一谈，因而不能理解命题p(n)为什么可以作为命题p(n?1)成立的条件，在具体操作中也不会理解第二步的关键和难点在于找出第k?1号命题与第k号命题之间的递推关系。正确的递推关系如下所示：

命题p(n?1)?p(n?2)?p(??)?p(n?k)?命题p(k?1)

在平时的教学过程中，学生对平时常用的方法也是似是而非，不清楚方法到底应该怎么运用。如同说对于数学归纳法的分类以及各种方法的相关性质了解不清楚。数学归纳法可以分为不完全数学归纳法和完全数学归纳法，其中后者还可以再分为穷举法和数学归纳法，并且可以保证结论可靠，而前者就不能保证结论可靠。本身对于方法的不熟悉，直接导致的后果是学生们根本不会对数学归纳法有一个整体全面的认识，不能理解就意味着知识学习掌握的不深入。

2.3 数学归纳法教学过程中的教师因素

本身就不存在适合任何情况的惟一教学设计，不同的学校、不同的教师、不同的学生本来就应该有与自己相适应的较优安排。即使是同一学校、同一教师、同一年级的同一课题教学，在两个平行班中也会有不同的动态平衡[7]。差异是绝对的，创造的空间是无限的，有关教师不追求较高的教学能力，甚至不思进取，特别是在类似于数学归纳法这类的教学难点上不是去寻求突破，在现有的学生学习的基础上改进教法，甚至在教材的编排上改一改，以提高教学水平，增进教师与学生之间的良性循环教育，而是填鸭式的应试教育。这样后果的直接承受者是新生学生一代。

举个教学过程中的教师“不求甚解”的例子： 例5：(1)求证1?2???n?n(n?1)。 2(2)求等差数列的通项公式。

(3)二次三项式f(n)?n2?n?17，有f(1)?19,f(2)直到f(15)均是质?23,f(3)?29,数，但f(16)?172为合数。

(4)函数f(n)?(n2?5n?5)2，有f(1)?1,f(2)?1,f(3)?1,f(4)?1,但f(5)?25?1。

教师在处理（1）、（2）的时候常常提出“怎么办”的问题，但是学生并不知道数学归纳法，却已经有了以前处理相关习题的经验，这个时候教师还想把学生的思路引到数学归

6

河南师范大学本科毕业论文

纳法上就有难度，甚至是有教学设计失败的危险。但是很多教师还是这样年复一年的讲解，没有创新，学生根本就没有倾听的欲望。同样还是对于（1）、（2）两题，由于在教材的排序上是已经学过很长一段时间的，学生在再一次接触的时候是不会再当做新问题去学习的，可是教师还是一如既往的当做问题去讲解，学生的注意力和兴趣就在这样的无聊中慢慢消退。就算有学生在认真听讲，可惜教师在讲解的过程中经常是在让自己理解，没有去关心学生是怎么想的。如在对无穷的an的再次分析时，“无穷”这个词就好像是教师的一种规定，只要在学习中遇到这样的情景就是规定，这样的讲解对于理解“无穷”这个概念是没有什么帮助的。最后再假定前面的所有环节都顺利，习题全部按照教师的意图进行了讲解，可是大多教师在讲解完数学归纳法的两大步后，却不知道如何去归纳方法让学生理解，对于程序和步骤的讲解是不错的，但是对于原理的讲解就不是那么让人满意，学生当然也不会意识到这是为什么，为什么这种题要用数学归纳法来解。 2.4 当代数学归纳法教学的导入环节

在学校的教学中，有经过教育教学实践的各种教学方法，有教育研究工作者针对相关的教育现实提出的种种好的设想，也有教学一线的教师的自我把握等等各种各样的教学方法。如，有的教师在讲解一个典型的题后提出数学归纳法这一个新的知识要点，引导学生向这个方面思考；有的教师则是通过探索、讨论、自学等一系列的方法引出数学归纳法，讲解数学归纳法，模仿数学归纳法，练习数学归纳法，以此达到掌握数学归纳法的目的。 特别典型的是传统的数学归纳法的教学，常常是先说明不完全归纳法的片面性，再举些多米诺骨牌之类的例子做引子，然后就直接抛出数学归纳法的证明步骤，接着就是大量大数学归纳法的例子练习，使学生掌握数学归纳法的证明步骤。这样的教学过程处理，只是让学生死记了形式，机械地照搬套用，对原理的理解不会深刻，对数学的长远学习只能起到相反的作用。

2.5 数学归纳法教学设计的指导思想

很明显，教学设计的指导思想就是加深理解数学归纳法的原理，特别突出对“无穷”这个词的理解。具体体现在以下几个方面：

（1）在引导、选题上或者创设的问题情境中要具有数学归纳法的必要因素与形式，既要知道这道题用数学归纳法的必要性，还要在直觉发现上这种题要用这种方法。

（2）在教学过程中突出无穷递推的本质，让学生自己可以体会数学递推思想的产生及意义，从而构建出递推证明的思想，熟练运用递推方法，从而加强学生对数学归纳法的理解。

7