数学建模试卷2010（答案）

华中科技大学

《数学建模》考试卷（半开卷）

2010～2011学年度第一学期 成绩 一 二 10 三 20 四 20 五 20 六 20 合计 100 分数 10 学号 专业 班级 姓名

一、怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等。（10分） （1）估计一批电饭煲的寿命；

（2）一高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。 解：

（1）从一批电饭煲中取一定数量的样本，测得其平均寿命，可作为该批电饭煲寿命的估计值。为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批电饭煲寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。 ⑤

（2）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）。

⑤

1

二、学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用以下方法分别分配各宿舍的委员数。（10分） 1.Hamilton方法 2.Q值方法

3.其它方法或你自己提出的方法

解：1.Hamilton方法:

宿舍 学生人数 按比例分配 参照惯例

A 235 2.35 3 B 333 3.33 3 ③

C 432 4.32 4 总计 1000 10 10

2.Q值法: 先按比例计算结果将整数部分的9席分配，n1Q1?p12?2,n2?3,n3?4 ①

n1?n1?1?p22?23522?2?1?3332?9204.17再用Q值法分配第十席：Q2?n2?n2?1?p32?3?3?1?4322?9240.75 ③

Q3?n3?n3?1??4?4?1??9331.20 Q3最大，第十席分配给C宿舍，即：n1

?2,n2?3,n3?5。 ①

3.略 ②

2

三、人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g(t)的增长率与注射速率r成正比，与人体血液容积V成反比，而由于人体组织的吸收作用，g(t)的减少率与g(t)本身成正比。分别在以下假设下建立模型，并讨论稳定情况。（20分） （1）人体血液容积V不变；

（2）由于排泄等因数V的增加有极限值，即

常数。

解：（1）V为常数时： 基本模型为：

rVdV?t?dt???V1?V?，其中??0,V1?0均为

dg?t?dt?k1rV?k2g k1?0,k2?0 为常数 ③

令：

f?g??k1?k2g?0 平衡解：g0k1rk2V?k1rk2V ②

f??g0???k2?0 ∴平衡点g0?是稳定的。 ②

dg?t?（2）

dtdV?k1rV?k2g?t? ②

dtfF???V1?VrV??kr???1,V1??k2V1?令：

?g,V???g,V??k1?k2g?0 平衡点：?g0,V0? ④

??V1?V??0a?fg??g0,V0c?Fg??g0,V0?????k20b?fV??g0,V0d?FV??g0,V0???k1rV12???????k2?A?

???0?k1r?2V1?

?????④

p?k2???0q?k2??0

∴平衡点?g0,V0?

?k1r???,V1?kV?21?是稳定的。 ③

3

四、某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于手工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）收入达3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。（20分） 解：此问题为3人合作对策。I定义特征函数：计算? 1：

?1?v????1,2,3? ②

④

v????0,v?1??1,v?2??v?3??0,v?1,2??2,v?1,3??3,v?2,3??0,v?I??4s ｛1｝ ｛1,2｝ ｛1,3｝ ｛1,2,3｝ v(s) 1 2 3 4 v(s-｛1｝) 0 0 0 0 v(s)-v(s-｛1｝) 1 2 3 4 ︱s︱ 1 2 2 3 w(︱s︱) 1/3 1/6 1/6 1/3 w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛1｝)〕 1/3 1/3 1/2 4/3 w?s??v?s??v?s??1????13?13?12?43?2.5

?s?S1④

计算? 2：

?2?v??s ｛2｝ ｛1,2｝ ｛2,3｝ ｛1,2,3｝ v(s) 0 2 0 4 v(s-｛2｝) 0 1 0 3 v(s)-v(s-｛2｝) 0 1 0 1 ︱s︱ 1 2 2 3 w(︱s︱) 1/3 1/6 1/6 1/3 w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛2｝)〕 0 1/6 0 1/3 w?s??v?s??v?s??2????16?13?0.5

?s?S2④

计算? 3：

?3?v??s ｛3｝ ｛1,3｝ ｛2,3｝ ｛1,2,3｝ v(s) 0 3 0 4 v(s-｛3｝) 0 1 0 2 v(s)-v(s-｛3｝) 0 2 0 2 ︱s︱ 1 2 2 3 w(︱s︱) 1/3 1/6 1/6 1/3 w(︱s︱)〔v(s)-v(s-｛3｝)〕 0 1/3 0 2/3 w?s??v?s??v?s??3????13?23?1

?s?S3④

分配向量为：??v???2.5,0.5,1?

即：甲应分得25000元，乙应分得5000元，丙应分得10000元。# ②

4