弯曲应力计算

出，?max与?min实际上相差不大。因而，可以认为腹板上切应力大致是均匀分布的。若以图7-13(c)中应力分布图的面积乘以腹板厚度d，可得腹板上的剪力FQ1。计算结果表明，FQ1约等于(0.95-0.97) FQ。可见，横截面上的剪力FQ绝大部分由腹板承受。因此，工程上通常将横截面上的剪力FQ除以腹板面积近似得出工字形截面梁腹板上的切应力为

τ?FQhd （7-11）

2．工字形截面翼缘部分的切应力

现进一步讨论翼绦上的切应力分布问题。在翼缘上有两个方向的切应力：平行于剪力FQ方向的切应力和平行于翼绦边缘线的切应力。平行于剪力FQ的切应力数值极小，无实际意义，通常忽略不计。在计算与翼缘边缘平行的切应力时，可假设切应力沿翼缘厚度大小相等，方向与冀缘边缘线相平行，根据在冀缘上截出部分的平衡，由图7-13(d)可以得出与式(7-9)形式相同的冀缘切应力计算公式

τ?FQS*zIzt （7-12）

式中t为翼缘厚度，图7-13(c)中绘有冀缘上的切应力分布图。工字形截面梁翼缘上的

最大切应力一般均小于腹板上的最大切应力。

从图7-13(c)可以看出，当剪力FQ的方向向下时，横截面上切应力的方向，由上边缘的外侧向里，通过腹板，最后指向下边缘的外侧，好象水流一样，故称为“切应力流”。所以在根据剪力FQ的方向确定了腹扳的切应力方向后，就可由“切应力流”确定翼缘上切应力的方向。对于其他的L形、丁形和Z形等薄壁截面，也可利用“切应力流”来确定截面上切应力方向。 7.3.3

圆形截面梁的切应力

在圆形截面梁的横截面上，除中性轴处切应力与剪力平行外，其他点的切应力并不平行于剪力。考虑距中性轴为y处长为b的弦线AB上各点的切应力如图7-14(a)。根据切应力互等定理，弦线两个端点处的切应力必与圆周相切，且切应力作用线交于y轴的某点p。弦线中点处切应力作用线由对称性可知也通过p点。因而可以假设AB线上各点切应力作用线都通过同一点p，并假设各点沿y方向的切应力分量τy相等，则可沿用前述方法计算圆截面梁的切应力分量τy，求得τy后，根据已设定的总切应力方向即可求得总切应力τ。

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圆形截面梁切应力分量τy的计算公式与矩形截面梁切应力计算公式形式相同。

τy?FQS*zIzb （7-13）

22*式中b为弦线长度，b?2R?ySz；仍表示部分面积A1对中性轴的静矩，见图

7-14(b)。

圆形截面梁的最大切应力发生在中性轴上，且中性轴上各点的切应力分量τy与总切应力τ大小相等、方向相同，其值为

τmax4FQ? 3πR2 （7-14）

由式(7-14)可见，圆截面的最大切应力?max为平均切应力7.3.4

环形截面梁的切应力

FQπR2的 4／3倍。

图7-15所示为一环形截面梁，已知壁厚t远小于平均半径R，现讨论其横截面上的切应力。环形截面内、外圆周线上各点的切应力与圆周线相切。由于壁厚很小，可以认为沿圆环厚度方向切应力均匀分布并与圆周切线相平行。据此即可用研究矩形截面梁切应力的方法分析环形截面梁的切应力。在环形截面上截取dx长的微段，并用与纵向对称平面夹角 ??相同的两个径向平面在微段中截取出一部分如图7-15(b)，由于对称性，两个rs面上的切应力τ'相等。考虑截出部分的平衡图7-15(b)，可得环形截面梁切应力的计算公式

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τy?FQS*z2tIz (7-15)

式中，t为环形截面的厚度。

环形截面的最大切应力发生在中性轴处。计算出半圆环对中性轴的静矩

S?及环形截面对中性轴的惯性矩

*Z?A1ydA?2RcosθtRdθ?2R2t

0?π/2Iz??AydA?22?2π0R2cos2θtRdθ?πR3t

将上式代入式(7-15)得环形截面最大切应力

τmax?FQ(2R2t)2tππ3t?FQπRt (7-16)

注意上式等号右端分母?Rt为环形横截面面积的一半，可见环形截面梁的最大切应力为平均切应力的两倍。

7.4 弯曲强度计算

梁在受横力弯曲时，横截面上既存在正应力又存在切应力，下面分别讨论这两种应力的强度条件。

7.4.1弯曲正应力强度条件

横截面上最大的正应力位于横截面边缘线上，一般说来，该处切应力为零。有些情况下，该处即使有切应力其数值也较小，可以忽略不计。所以，梁弯曲时，最大正应力作用点可视为处于单向应力状态。因此，梁的弯曲正应力强度条件为

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?max?(M)max?[?] （7-17） Wz 对等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上，这时弯曲正应力强度条件为

?max?Mmax?[?] （7-18） Wz式(7-17)、式(7-18)中，[?]为许用弯曲正应力，可近似地用简单拉伸(压缩)时的许用应力来代替，但二者是略有不同的，前者略高于后者，具体数值可从有关设计规范或手册中查得。对于抗拉、压性能不同的材料，例如铸铁等脆性材料，则要求最大拉应力和最大压应力都不超过各自的许用值。其强度条件为

?tmax?[?t]，?cmax?[?c] （7-19）

7.4.2 弯曲切应力强度条件

一般来说，梁横截面上的最大切应力发生在中性轴处，而该处的正应力为零。因此最大切应力作用点处于纯剪切应力状态。这时弯曲切应力强度条件为

τmax?(FQS*zIzb)max?[?]

（7-20）

对等截面梁，最大切应力发生在最大剪力所在的截面上。弯曲切应力强度条件为

τmax?FQmaxS*zmaxIzb?[τ]

（7-21）

许用切应力[??通常取纯剪切时的许用切应力。

对于梁来说，要满足抗弯强度要求，必须同时满足弯曲正应力强度条件和弯曲切应力强度条件。也就是说，影响梁的强度的因素有两个：一为弯曲正应力．一为弯曲切应力。对于细长的实心截面梁或非薄壁截面的梁来说，横截面上的正应力往往是主要的．切应力通常只占次要地位。例如图7-16所示的受均布载荷作用的矩形截面梁，其最大弯曲正应力为

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