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安徽省全国示范高中名校2020届高三数学上学期9月月考试题理(含解析)

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  • 2025/7/5 21:35:33

【答案】3 【解析】 【分析】

根据原命题为真,否命题为真以及原命题与其逆否命题同真假可得.

【详解】易知原命题为真命题,所以逆否命题为真,命题否命题“若A?B?B,则

AIB?A”为真命题,故逆命题为真命题.

【点睛】本题考查了命题与其逆否命题同真假,属基础题.

15.已知f(x)?ln(e?1)?bx(b?0)是偶函数,则【答案】2 【解析】 【分析】

根据偶函数的定义,由f(?x)?f(x) 恒成立可得. 【

axaxa?__________. b详

?ax解】由

f(x)?f(?x)得

ln(e?1)?bx?ln(eeax?1?1)?bx?lnax?bx?ln(eax?1)?ax?bx,∴ax?2bx ,

ea?2. b【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.

16.设函数f?x??x?3x?ax?5?a,若存在唯一的正整数x0,使得f?x0??0,则a的

32取值范围是____________.

?15?【答案】?,?

?34?【解析】 【分析】

把函数f(x)变成两个函数g?x??x3?3x2?5,h?x??a?x?1?的图像问题。 【详解】设g?x??x3?3x2?5,h?x??a?x?1?,则g??x??3x2?6x?3x?x?2?,

- 9 -

?当0?x?2时,g??x??0,当x?0或x?2时,g??x??0,

?g?x?在???,0?,?2,???上单调递增,在?0,2?上单调递减,

?当x?2时,g?x?取得极小值g?2??1,作出g?x?与h?x?的函数图象如图:

显然当a?0时,g?x??h?x?在?0,???上恒成立,即f?x??g?x??h?x??0无正整数解,要使存在唯一的正整数x0,使得f?x0??0,显然x0?2,

?g?1??h?1??3?2a???15?15??g?2??h?2?,即??1?3a,解得?a?.故答案为?,?.

34?34??g?3??h?3??5?4a??【点睛】函数零点问题,恒成立与存在性问题,若能分离参数,则通过分离参数可得出参数的范围,若不能分离参数,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11x?()?8},B?{x||x?a|?1}. 22(1)若a?3,求AUB;

17.设集合A?{x|(2)设命题p:x?A,命题q:x?B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

【答案】(1)AUB?(?4,1)(2)[0,2] 【解析】 【分析】

(1)将a?3代入B,求得B,再求得AUB;

- 10 -

(2)将问题转化为集合B是集合A的真子集,再根据真子集关系列式可得. 【详解】(1)由已知可得A?(?3,1),B?(?4,?2),∴AUB?(?4,1). (2)由题意可得集合B是集合A的真子集,

??a?1…?3??a?1??3a2, ∵B?(?a?1,?a?1),∴?或?,∴0剟?a?1?1?a?1?1??∴实数a的取值范围是[0,2].

【点睛】本题考查了集合的运算,集合之间的关系以及充分必要条件,属中档题.

18.已知函数f?x??e?xm是定义在??1,1?的奇函数(其中e是自然对数的底数). xe(1)求实数m的值; (2)若f?a?1??f2a?2??0,求实数a的取值范围.

1【答案】(1)1;(2)0≤a≤.

2【解析】 【分析】

(1)因为函数y?f?x?是?1,1上的奇函数,故可得方程f?0??0,从而可得m的值,然后再对m的值进行验证;

(2)根据导数可求出函数f?x??e?x??1为单调递增函数,又由于函数为奇函数,故将不等ex2式f?a?1??f2a?2??0转化为a?1??2a,再根据函数的定义域建立出不等式组

??1?a?1?1?2??1?2a?1,从而得出a的取值范围。 ?a?1??2a2?【详解】解:(1)Qf?x??e?xm是定义在??1,1?奇函数, xe?f?0??0 ?m?1,

当m=1时,f?x??e?x1, ex1?ex??f?x?. xe1x(2) Qf??x??e?x,

e ?f??x??

- 11 -

且ex?11x?2e??2,当且仅当x?0时,取“=”, exex?f??x??0在??1,1?恒成立,

?f?x?在?1,1单调递增, 又Q函数为奇函数,f?a?1???f2a???2??f??2a?

2??1?a?1?1????1?2a2?1 , ?a?1??2a2? ?0?a?1. 2【点睛】本题考查了函数性质的综合运用能力,解题的关键是要能够准确地求出函数的奇偶性与单调性,函数奇偶性的常见判断方法是定义法、特殊值法等,函数单调性常见的判断方法是定义法、导数法等。

19.已知函数f(x)?x?3ax. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)在区间[0,2]上有最小值?32,求a的值. 【答案】(1)当a?0时, f(x)在R上为增函数;

当a?0时, f(x)在(??,2a),(0,??)上为增函数,在(2a,0)上为减函数; 当a?0时, f(x)在(??,0),(2a,??)上为增函数,在(0,2a)为减函数. (2)a?3210 3【解析】 【分析】

(1)求导后,对a 分三种情况讨论可得;

(2)利用第(1)问的单调性分三种情况,求得函数的最小值与已知最小值相等,列式可解得a. 【详解】(1)f?(x)?3x?6ax?3x(x?2a) ,

2当a?0时,则f?(x)?3x?0,所以f(x)在R上为增函数;

2 - 12 -

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【答案】3 【解析】 【分析】 根据原命题为真,否命题为真以及原命题与其逆否命题同真假可得. 【详解】易知原命题为真命题,所以逆否命题为真,命题否命题“若A?B?B,则AIB?A”为真命题,故逆命题为真命题. 【点睛】本题考查了命题与其逆否命题同真假,属基础题. 15.已知f(x)?ln(e?1)?bx(b?0)是偶函数,则【答案】2 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义,由f(?x)?f(x) 恒成立可得. 【axaxa?__________. b详?ax解】由f(x)?f(?x)得ln(e?1)?bx?ln(eeax?1?1)?bx?lnax?bx?ln(eax?1)?ax?bx,∴ax?2bx ,ea?2. b【点睛】本题考

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