同济第六版《高等数学》教案word版-第09章重积分

{(x y z)| x2

y2z2a2}

所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz Iz????(x2?y2)? dv

? ?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d?

?2??a8?a5??2a2M34??d?sin? d?rdrrsin?drd?d???0?0?0???155? ??43

其中M?4?a3?为球体的质量

32

提示 x

y2r2sin2cos2r2sin2 sin2r2sin2

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力问题

设物体占有空间有界闭区域假定(x y z)在上连续

在物体内任取一点(x y z)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为

它在点(x y z)处的密度为(x y z)

并

dv) 把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x y z)处 这一小块物体对

位于P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力近似地为 dF?(dFx,dFy,dFz) ?(G其中

?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)

dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量

G为引力常数 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2可得Fx、Fy、Fz 从而得F

(Fx、Fy、Fz)

{(x y z)|x2

例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域y2z2R2) 求它

对于位于点M0(0 0 a) (a>R)处的单位质量的质点的引力 解 设球的密度为轴的分量为

0

由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z Fz????G?0[x2?y2?(z?a)2]3/2dv

?z?a ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z2 ?G?0(z?a)dz?d??0?d?[?2?(z?a)2]3/20

?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?aR1R(z?a)dR2?2az?a2]

a??R2R3 ?2G??0(?2R?2R?2)

3a34?R ??G? ?0?12??GM3aa234?R其中M??为球的质量 30 ?2?G?0[?2R? 上述结果表明引力

匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的