同济第六版《高等数学》教案word版-第09章重积分

设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P( ) 则这样的三个数、化范围为 0 坐标面

<

0

、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变

0

2

0

zz0的意义

点M 的直角坐标与柱面坐标的关系

xcos ysin

?x??cos?? zz ?y??sin?

??z?z 柱面坐标系中的体积元素 dv 简单来说 dxdydddz

dd dz

2

dd dxdydzdxdydz 柱面坐标系中的三重积分

???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?? 例3 利用柱面坐标计算三重积分

???zdxdydz? 其中是由曲面zxy2与平面

z4所围成的闭区域

解 闭区域可表示为 于是

?2

z4 0

?2 02

???zdxdydz????z?d?d?dz

2?242?21d??(16??4)d?

d??d?zdz??0?0??2?02?01164?

??2?[8?2??6]2?0263 ? 3 利用球面坐标计算三重积分 设M(x y定

其中

? z)为空间内一点 则点M也可用这样三个有次序的数r、、 来确

r为原点O与点M间的距离 为OM与z轴正向所夹的角 为从正z轴来看自x轴

按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里P为点M在xOy面上的投影 这样的三个数

?r、 、 叫做点M的球面坐标 这里r、、 的变化范围为

0r<

0

<

0

2

坐标面rr0

0

0

的意义

点M的直角坐标与球面坐标的关系

xrsincos yrsinsin

?x?rsin?cos?? zrcos ?y?rsin?sin?

??z?rcos? 球面坐标系中的体积元素 dvrsindrdd 球面坐标系中的三重积分

2f(x,y,z)dv?f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?drd?d?????????2

例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积 解 该立体所占区域可表示为 0r2acos于是所求立体的体积为 V? 0

0

2

???dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????002??2acos?0r2sin?dr

?2??0?sin?d??2acos?0r2dr

3?316?a4?a34 ?cos?sin?d??(1?cosa)3?03提示 球面的方程为x方程为r

2

2

y2(za)2a2 即x2y2z22az 在球面坐标下此球面的

2arcos 即r2acos

§9

元素法的推广

4 重积分的应用

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理 这种元素法也可推广到二重积

当闭区域D分的应用中 如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时以它为被积表达式 在闭区域D上积分

分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和) 并且

相应的部分量可近似地表示为f(x

y)d 的形式 其中(x y)在d内 则称f(x y)d 为所求量U的元素 记为dU

U???f(x,y)d?D

y)给出 D为曲面S在xOy面上的投影区域 函数f(x

并在区域D内取一包含点P(x y)的小闭区域d这就是所求量的积分表达式 一、曲面的面积 设曲面S由方程 zf(xy)在D上具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y) 现求曲面的面积A

在区域D内任取一点P(x y)其面积也记为d

在曲面S上点M(x y f(x y))处做曲面S的切平面T 再做以

又设切平面T的法向量与z轴所

小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 记为dA成的角为 dA? 则

d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d?xycos?

这就是曲面S的面积元素 于是曲面S 的面积为 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?

或 A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy

?x?y M在

设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在xOy面上的投影为小闭区域dxOy面上的投影为点P(x y) 因为曲面上点M处的法向量为n(fx fy 1) 所

以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?提示 dA与xOy面的夹角为(n^ k)

dAcos(n1

^ k)d

nk|n|cos(n^ k)1 cos(n^ k)|n|

讨论 若曲面方程为xg(y z)或yh(z x) 则曲面的面积如何求 A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx?z?x

或 A?Dzx??

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域 Dzx是曲面在zOx面上的投影区域 例1 求半径为R的球的表面积 解 上半球面方程为z?R2?x2?y2 因为z对x和对y的偏导数在D x出

因此先求在区域D1 x2

2

x2

y2R2

y2R2上无界 所以上半球面面积不能直接求

y2a2 (aR)上的部分球面面积 然后取极限

2x?y2?a2??2?ardr R?Rd?dxdy?0?0R2?r2R2?x2?y2 ?2?R(R?R2?a2)a?R

于是上半球面面积为lim2?R(R?R2?a2)?2?R2整个球面面积为 A2A1提示

4R2

?z??x?xR2?x2?y2

?y?z??yR2?x2?y2 1?(?z)2?(?z)2?R?x?yR2?x2?y2

解 球面的面积A为上半球面面积的两倍 上半球面的方程为z?R2?x2?y2

而

?z??x?xR2?x2?y2

?y?z??yR2?x2?y2所以 A?2x2?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2 ?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2200222R??R?x?y ?2x2?y2?R2?? ??4?RR2??2 ?4?R20R

运行的角速度

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地面的高度为h36000km

与地球自转的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径

R6400km)

解 取地心为坐标原点 地心到通讯卫星中心的连线为z轴 建立坐标系