同济第六版《高等数学》教案word版-第09章重积分 - 图文

第九章 重积分

教学目的：

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点：

1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点：

1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。

§9

1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1 曲顶柱体的体积

设有一立体 它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面

它的顶是曲面zf(x y) 这里f(x y)0且在D上连续

这种立体叫做曲顶柱体 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先 用一组曲线网把D分成n个小区域

1

2

n

) 以f (

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 作母线平行于z轴的柱面 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体

i 在每个

i中任取一点(

i

i i

)为

i高而底为 f (

的平顶柱体的体积为

i i

)

i (i1 2 n )

这个平顶柱体体积之和

V??f(?i,?i)??ii?1n

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即

V?lim?f(?i,?i)??i??0i?1n

其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 它在点(x y)处的面密度为(x这里(x y)0且在D上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D分成n个小区域

1

y)

2

n

把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 (

i

i)

i

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 M???(?i,?i)??ii?1n

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 M?lim??(?i,?i)??i??0i?1n

其中是个小区域的直径中的最大值

定义 设f(x 其中作和

?f(?i,?i)??ii?1n i 1

y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域

2

n

i表示第i个小区域 也表示它的面积 在每个上任取一点(

i

i)

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函

数f(x y)在闭区域D上的二重积分 记作

n??f(x,y)d?D 即

lim?f(?i,?i)??i??f(x,y)d????0i?1D

f(x y)被积函数 f(x y)d被积表达式 d面积元素 x y积分变量 D积

分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外

其余的小闭区域都是矩形闭区域

i 设矩形闭区域

i的边长为xi和

yi 则

xiyi 因此在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而

把二重积分记作

??f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域

D上连续 所以f(x y)在D上的二重积分都是存在的

二重积分的几何意义 如果f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f(x y)是

负的 柱体就在xOy 面的下方 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

二 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数 则

??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d??c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DDD

性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D分为两个闭区域D1与D2 则

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?DD1D2

性质3

??1?d????d???(

DD为D的面积)

性质4 如果在D上 f(x y)g(x y) 则有不等式

??f(x,y)d????g(x,y)d?DD

特殊地有 |??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d?DD

性质5 设M、m分别是f(x有

m?? y)在闭区域D上的最大值和最小值 为D的面积 则

??f(x,y)d??M?D

为D的面积

性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x y)在闭区域D上连续 则在D上至少存在一点(

§9

2 二重积分的计算法

D )使得

??f(x,y)d??f(?,?)? 一、利用直角坐标计算二重积分

X Y

型区域

1

D D

设f(x y)

(x)y(x)y2

(x) ax(x) cyb d

(x) axb}

型区域

1

2

混合型区域

0 D{(x y)|

D1

(x)y2

此时二重积分

??f(x,y)d?在几何上表示以曲面zf(x y)为顶 以区域D为底的

曲顶柱体的体积 对于x0[a b]

?2(x0)10 曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[

1

(x0)

2

(x0)]为底、

以曲线zf(x0 y)为曲边的曲边梯形 所以这截面的面积为

A(x0)???(x)f(x0,y)dyb?2(x)

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 得曲顶柱体体积为

V??A(x)dx??[?aba?1(x)f(x,y)dy]dx