[整理]函数列与函数项级数

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maxfn(x)?fn( )?0?x?11n1 ??0, ( n?? ). 2? 函数列{fn(x)}在区间[ 0 , 1 ]上非一致收敛.

x例4 设函数f1(x)在区间[ a , b ]上连续 . 定义 fn?1(x)?函数列{fn(x)}在区间[ a , b ]上一致收敛于零.

?fan(t)dt. 试证明

证法一 由f1(x)?C[a,b] , f1(x)有界 . 设在区间[ a , b ]上|f1(x)|?M . |f2(x)|?| |f3(x)|?|?xaf1|??|f1|?M(x?a)?M(b?a);

ax?xaf2|??|f2|?axM1(x?a)2?M(b?a)2; 22M1(x?a)n?M(b?a)n. n!n! ……………………… |fn?1(x)|?|?xafn|??|fn|?ax|c|nM(b?a)n??? , ? ?0, ( n?? ). ? 注意到对?c , ?n!n!fn???0, ???( n?? ), x?[ a , b ].

证法二 fn??1(x)?fn(x) , fn??1(a)?fn(a) ?0 ,

?? fn???1(x)?fn?1(x) , fn?1(a)?fn?1(a)?0 ,

(n) ??, fn?1(x)?f1(x).

f1(x)?C[a,b], f1(x)有界. 设在区间[ a , b ]上|f1(x)|?M. 把函数fn?1(x)在点

a展开成具Lagrange型余项的n?1阶Taylor公式 , 注意到

(n?1) fn??1(a)?fn???1(a)???fn?1(a)?0,

n)fn(?1(?)(x?a)n a???b, 就有 |fn?1(x)|? n!-------------

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|f1(?)|M(b?a)nn(x?a) ? ?0, ( n?? ), x?[ a , b ]. ?n!n!所以 , fn???0, ???( n?? ), x?[ a , b ].

例5 设f: [a,b]?(a,b). ?n?0且?n?0, ( n?? ). 令

f1(x)?f(x) , f2(x)?f?f(x)??f?f1(x)? , ? ,

fn(x)?f?fn?1(x)??f?f(?f(x)??. …….

???????n层复合试证明: 若对? n 和 ?x,y?[ a , b ], 有 fn(x)?fn(y) ? ?n|x?y| , 则函数列 {fn(x)}在区间[ a , b ]上一致收敛 .

证 对???0 , 取 N, 使n?N时, 有?n??b?a. 于是对任何自然数p和

?x?[ a , b ], 有

|fn(x)?fn?p(x)| ? |fn(x)?fnfp(x)| ? ?n|x?fp(x)| ? ?n(b?a)??. 由Cauchy收敛准则 , 函数列{fn(x)}在区间[ a , b ]上一致收敛 .

例6 设在数集D上函数列{fn(x)}一致收敛于函数f(x). 若每个fn(x)在 数集D上有界 , 则函数列{fn(x)}在数集D上一致有界 .

证 ( 先证函数f(x)在数集D上有界 ) 设在D上有|fn(x)|?Mn.

对??1,由函数列{fn(x)}在数集D上一致收敛,? N,当N0?N时 , 对?x?D,有 |f(x)|?|fN0(x)|? |f(x)?fN0(x)| ? 1,

? |f(x)|< 1?|fN0(x)| ? 1?MN0???G. 即函数f(x)在数集D上有界.

( 次证函数列{fn(x)}在数集D上一致有界 ) n?N时, 对?x?D,有 -------------

Def??-------------

|fn(x)|―|f(x)|? |fn(x)―f(x)|< 1, ? |fn(x)|? G?1.

取 M?max{ M1 , M2 , ?, Mn , G?1 }, 易见对?x?D和? n有|fn(x)|?M. 即 函数列{fn(x)}在数集D上一致有界 .

例7 设{fn(x)}为定义在区间[ a , b ]上的函数列, 且对每个n, 函数fn(x)在点a右连续 , 但数列{fn(a)} 发散. 试证明: 对???0 ( ??b?a), 函数列{fn(x)}在区间( a , a?? )内都不一致收敛.

证 反设???0, 使{fn(x)}在区间( a , a?? )内一致收敛. 则对

???0 , ? N, ? n?N, ? p?N, 有

|fn?1(x)?fn?p(x)| ??2 对?x?( a , a?? )成立.

? |fn?1(a)?fn?p(a)| ?lim?|fn?1(x)?fn?p(x)| ?x?a?2??.?{fn(a)}为Cauchy列,

即{fn(a)}收敛. 与已知条件矛盾.

§ 2

一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ）

一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:

1.

连续性:

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Th 1 设在D上fn在D上连续.

证 ( 要证 : 对?x0?D, f(x)在点x0连续 . 即证: 对???0, ???0, 当 |x?x0|??时, ? |f(x)?f(x0)|??. )

|f(x)?f(x0)| ? |f(x)?fn(x)|?|fn(x)?fn(x0)|?|fn(x0)?f(x0)|. 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数fn(x)在点x0连续, 第二项|fn(x)?fn(x0)|也可以任意小 . ……

系 设在D上fn(x)?f(x). 若f(x)在D上间断 ，则函数列{fn(x)}在D上 一致收敛和所有fn(x)在D上连续不能同时成立.

註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{fn(x)}, 有 limlimfn(x)?limlimfn(x).

x?x0n??n??x?x0??????f(x),且对?n,函数fn(x)在D上连续 , ? f(x)即极限次序可换 . 2. 可积性:

Th 2 若在区间[ a , b ]上函数列{fn(x)}一致收敛 , 且每个fn(x)在[ a , b ]上连续. 则有

??limf(x)?dx?lim?ban??nbn??afn(x)dx.

证 设在[ a , b ]上fn可积. 我们要证 lim-------------

??????f(x), 由Th1, 函数f(x)在区间[ a , b ]上连续,因此

bn??a?bfn(x)dx??f(x)dx. 注意到

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