[整理]函数列与函数项级数

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1?xn ( x?1 ), 收敛域为( ?1 , 1 ). 的部分和函数列为 Sn(x)?1?x

2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.

Th2 ( Cauchy准则 ) 级数

?un(x)在区间D上一致收敛, ? ???0, ? N,

?n?N , ?p?N, ? |un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)| ? ? 对?x?D成立.

系 级数

Th3 级数

?u?un(x)在区间D上一致收敛, ? un(x)(x)在区间D上一致收敛, ?

n??x?D??????0, ( n?? ).

n limsup|Rn(x)|?limsup|S(x)?Sn(x)|?0.

n??x?D例10 证明级数

?xn?1?(?1 )n?12?n在R内一致收敛 .

证 令un(x)=

(?1 )n?1x?n2, 则 n?? 时

|un?1(x)?un?2(x)???un?p(x)| ?|1x?n?12???(?1 )p?1x?n?p2| ?

?1x?n?12 ? 1n?1?0 对?x?R成立. ……

例11 几何级数非一致收敛.

?xn?0?n 在区间[?a , a ](0?a?1)上一致收敛；但在(?1 , 1 )内

证 在区间[?a , a ]上 , 有

?xnansup|Sn(x)?S(x)|?sup??0, ( n?? ). ? ?一致收敛 ;

1?a[?a,a][?a,a]1?a 而在区间(?1 , 1 )内 , 取xn?n?(?1 , 1 ), 有 n?1-------------

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n?n???n?1xnnn?1????nsup|Sn(x)?S(x)|?sup ? ?????, ( n?? ). ?

n1?n(?1,1)(?1,1)1?x??1?1?n?非一致收敛.

n ( 亦可由通项un(x)?x在区间(?1 , 1 )内非一致收敛于零,?

?非一致收

敛.)

几何级数

?xn?0?n虽然在区间(?1 , 1 )内非一致收敛 , 但在包含于(?1 , 1 )内的任何

闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数

?xn?0?n在区间(?1 , 1 )内闭一致收敛 .

Ex [1]P44—45 1 ⑹⑺， 4，6.

四. 函数项级数一致收敛判别法:

1.

M - 判别法:

Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数

?un(x)定义在区间D上, ?Mn是收敛

的正项级数.若当n充分大时, 对?x?D有|un(x)|?Mn, 则

证 ?在D上一致收敛 .

?ui?1pn?i(x) ? ?|un?i(x)| ? ?Mn?i? ?Mn?i , 然后用Cauchy准则.

i?1i?1i?1ppp亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数

?Mn是级数

?un(x)的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数?un(x)在区间D上存在优级

数 , 则级数

?un(x)在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取Mn?sup{|un(x)|}.

x?D但应注意, 级数

?un(x)在区间D上不存在优级数 , ?? 级数?un(x)在区间D上非

一致收敛. 参阅[1]P45 8. -------------

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注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.

?sinnxcosnx 例12 判断函数项级数 ? 和 在R内的一致收敛性 . ?22nnn?in?i? 例13 设un(x) ( n?1 , 2 , ? )是区间[ a , b ]上的单调函数. 试证明 : 若级数

?un(a)与?un(b)都绝对收敛, 则级数?un(x)在区间[ a , b ]上绝对并一致收敛 .

简证 , 留为作业. |un(x)| ? |un(a)|?|un(b)|.……

2. Abel判别法:

Th 5 设 ⅰ> 级数

?un(x)在区间I上收敛; ⅱ> 对每个x?I , 数列{vn(x)}

单调 ; ⅲ> 函数列{vn(x)}在I上一致有界, 即? M?0, 使对?x?I和?n, 有

|vn(x)| ? M. 则级数?un(x)vn(x)在区间I上一致收敛 . ( [1]P43 )

2. Dirichlet判别法: Th 6 设ⅰ> 级数

?un(x)的部分和函数列Un(x)??uk(x)在区间I上一致有界;

k?1n ⅱ> 对于每一个x?I, 数列{vn(x)}单调; ⅲ> 在区间I上函数列{vn(x)}一致收敛于零. 则级数

?un(x)vn(x)在区间I上一致收敛 .

(?1 )n(x?n)n 例14 判断函数项级数?在区间[ 0 , 1 ]上的一致收敛性.

nn?1(?1 )n?x? 解 记un(x)? , vn(x)??1??. 则有ⅰ> 级数?un(x)收敛;

n?n??x?ⅱ> 对每个x?[ 0 , 1 ], vn(x)↗；ⅲ> |vn(x)|??1???e 对 ?x?[ 0 , 1 ]

?n?和?n成立. 由Abel判别法,

nn?在区间[ 0 , 1 ]上一致收敛.

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例15 设数列{an}单调收敛于零 . 试证明 : 级数

?ancosnx 在区间

[ ? , 2??? ] (0????)上一致收敛.

证 由本教案Ch12§3例4 ，在[ ? , 2??? ]上有

1sin(n? )x11112?1 ? ? ? ?. |?coskx| ? xx?222k?12sin2|sin|2sin222n可见级数

?cosnx的部分和函数列在区间[ ? , 2??? ]上一致有界 . 取

?unun(x)?cosnx , vn(x)?an . 就有级数

(x)的部分和函数列在区间

[ ? , 2??? ]上一致有界, 而函数列{vn(x)}对每一个x?[ ? , 2??? ]单调且一致收

敛于零.由Dirichlet判别法,级数

?ancosnx在区间[ ? , 2??? ]上一致收敛.

其实 , 在数列{an}单调收敛于零的条件下, 级数

?ancosnx 在不包含

2k? ( k?0 , ?1 , ?2 ,? )的任何区间上都一致收敛.

Ex [1]P45—46 3，5，7，8，9*⑹⑺.

习 题 课 ( 2 时 )

例1 设fn(x)?f(x),( n?? ), x?D. an?0且an?0,( n?? ). 若对每个自然数 n 有|fn(x)―f(x)|?an 对?x?D成立, 则函数列{fn(x)}在

D上一致收敛于函数f(x).

例2 证明函数列{x}在区间[ 0 , 1 ]上非一致收敛. 例3 fn(x)?nnx, x?[ 0 , 1 ]. 讨论函数列{fn(x)}的一致收敛性. 221?nx解 limfn(x)? 0, x?[ 0 , 1 ]. |fn(x)― 0|?fn(x) . 可求得

n??-------------