[整理]函数列与函数项级数

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Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ）

§ 1 一致收敛性（ 6 时 ）

一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列{fn(x)}，介绍概念：

收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.

逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“??N”定义.

n 例1 对定义在( ?? , ?? )内的等比函数列fn(x)?x, 用“??N”定义

验证其收敛域为( ?1 , 1 ], 且

|x| ? 1 ,? 0 , nf(x)??x limn lim ?n??n?? 1 , x?1 .?例2 fn(x)?

例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ( n?? ).

sinnx. 用“??N”定义验证在( ?? , ?? )内limfn(x)?0.

n??nnx?n?x ⑴ fn(x)?x. fn(x)?sgnx, x?R. ?xn?n ⑵ fn(x)?x

⑶ 设r1,r2,?,rn,?为区间[ 0 , 1 ]上的全体有理数所成数列. 令

fn(x)??

⑷ fn(x)?2nxe-------------

2?n2x212n?1. fn(x)?sgnx, x?R.

?1 , x?r1,r2,?,rn, fn(x)?D(x), x?[ 0 , 1 ].

?0 , x?[ 0 , 1 ]且 x?r1,r2,?,rn.. fn(x)?0, x?R.

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1?n4x, 0?x?,n?2?11? ⑸ fn(x)??2n?1?4nx, n?x?n?1,

22?1?0 , ?x?1 . ?n?12? 有fn(x)?0, x?[ 0 , 1 ], ( n?? ). （ 注意

?10fn(x)dx?1.）

二. 函数列的一致收敛性:

问题: 若在数集D上 fn(x)?f(x), ( n?? ). 试问: 通项fn(x)的解析性质是否必遗传给极限函数f(x)? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但

limn???110fn(x)dx??limfn(x)dx.

0n????用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, limfn(x)就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限

n??函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极

限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓

“整体收敛”的结果.

定义 ( 一致收敛 )

一致收敛的几何意义.

Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列{fn}在数集D上一致收敛,?

???0 , ? N, ? m , n?N, ? fm?fn??.

( 介绍另一种形式fn?p?fn??.)

证 ?) ( 利用式 fm?fn?fm?f?fn?f.)

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?) 易见逐点收敛. 设limfn(x)?f(x),……,有 |fm(x)?fn(x)| ?n???2.

令m??, ? |fn(x)?f(x)| ??2?? 对? x?D成立, 即fn(x)??????f(x),

( n?? )，x?D.

系1 在D上fn??????f, ( n?? )，? limsup|fn(x)?f(x)|?0.

n??D系2 设在数集D上 fn(x)?f(x), ( n?? ). 若存在数列{xn}?D , 使

|fn(xn)?f(xn)| ?? 0, 则函数列{fn(x)}在数集D上非一致收敛 .

应用系2 判断函数列{fn(x)}在数集D上非一致收敛时, 常选 xn为函数

Fn(x)? fn(x)―f(x) 在数集D上的最值点.

验证函数一致收敛性: 例4 fn(x)?sinnx. 证明函数列{fn(x)}在R内一致收敛. n2?n2x2例5 fn(x)?2nxe. 证明在R内 fn(x)?0, 但不一致收敛.

证 显然有fn(x)?0,|fn(x)?f(x)| ? fn(x)在点xn?112n处取得极大值

??1?fn???2ne2??0,( n?? ). 由系2 , {fn(x)}不一致收敛. ?2n? 例6 Sn(x)?x. 证明在( ?? , ?? )内Sn(x)221?nx??????0, ( n?? ).

证 易见 limSn(x)?S(x)?0. 而

n?? |Sn(x)?S(x)|?由系1 , ? ……

|x|12n|x|1??? 在( ?? , ?? )内成立.

1?n2x22n1?(nx)22n 例7 对定义在区间[ 0 , 1 ]上的函数列 -------------

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1?22nx , 0?x?,?2n?11? fn(x)??2n?2n2x, ?x? , ( n?1 , 2 , ? ),

2nn?1?0 , ?x?1 .?n?证明: limfn(x)?0, 但在[ 0 , 1 ]上不一致收敛. [1]P38—39 E3, 参图.

n???1证 0?x?1时, 只要n?x, 就有fn(x)?0. 因此, 在( 0 , 1 ]上有

f(x)?limfn(x)?0. fn(0)?0, ? f(0)?limfn(0)?0.于是, 在[ 0 , 1 ]上有

n??n???1?f(x)?limfn(x)?0. 但由于max|fn(x)?f(x)|?fn???n??0, ( n?? ),

x?[0,1]n???2n?因此 , 该函数列在[ 0 , 1 ]上不一致收敛. 例8 fn(x)?sinx2n?12. 考查函数列{fn(x)}在下列区间上的一致收敛性:

⑴ [ ?l , l ] , (l?0) ; ⑵ [ 0 , ??).

Ex [1]P44—46 1⑴—⑸，2，9⑴； P53—54 1⑴，2，3⑴.

三. 函数项级数及其一致收敛性:

1． 函数项级数及其和函数：，

点，收敛域, 和函数, 余项.

例9 定义在( ?? , ?? )内的函数项级数( 称为几何级数 )

?un(x), 前n项部分和函数列{Sn(x)}，收敛

?xn?0?n?1?x?x2???xn??

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