人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理和余弦定理 docx

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第一章 解三角形

§1.1.1正弦定理和余弦定理

班级 姓名 学号 得分

一、选择题

1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于……………………....( ) A．30°

B．30°或150° C．60°

D．60°或120°

2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为…………..( ) A．9

B．18 C．93

D．183

3．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于………………………..( ) A．1∶2∶3

B．2∶3∶1 C．1∶3∶2

D．3∶1∶2

4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为…..( )

A．(2，＋∞)

1] B．(-∞，0) C．(-2，0)

1D．(2，＋∞)

5． 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..( ) A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝42，B＝45° C．a＝6，b＝63，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30° * 6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则

a?b?c等于….( )

sinA?sinB?sinC A．33 二、填空题

83239B．3 C．3 39 D．2

7．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________． 8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．

3 9．已知△ABC的面积为2，且b＝2，c＝3，则∠A＝________．

10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________． 三、解答题

11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16． (1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．

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(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．

2

12．在△ABC中，已知a-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4∶13，求a，b，c．

A?Ba?b2?a?btanA?B2． 13．在△ABC中，求证

tan

14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．

§1.1.1正弦定理和余弦定理参考答案 一、选择题 D C A D C B 二、填空题

73 7．23或3 8． 22 9． 60°或120° 10． 3 3

三、解答题

1 11．解：(1)∵ a＋b＝16，∴ b＝16-a S＝2absinC

33122

＝2a(16-a)sin60°＝4(16a-a)＝-4(a-8)＋163（0＜a＜16)

(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值163．

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12．解：∵ sinC∶sinA＝4∶13∴ c∶a＝4∶13 设c＝4k，a＝13k，则

2??13k?13k?2(b?4k)??13k?2b?8k?3 ?

2

由①、②消去2b，得13k-16k＋3＝0 ③

33解得k＝13或k＝1，∵ k＝13时b＜0，故舍去． 5?132∴ k＝1，此时a＝13，b＝，c＝4．

13．证明：由正弦定理，知 a＝2RsinA，b＝2RsinB

a?b2RsinA?2RsinBsinA?sinB??a?b2RsinA?2RsinBsinA?sinBA?BA?BA?BA?Bsin(?)?sin(?)2222?A?BA?BA?BA?Bsin(?)?sin(?)2222A?BA?BA?B2sincostan22?2?A?BA?BA?B2sincostan222

? 14．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得

csinCsin(A?B)??sinA asinA ∵ A≤B

∴ 2A≤A＋B≤180°-C≤60°

? ∵ 正弦函数在(0，3)上是增函数，

∴ sin(A＋B)≥sin2A＞0

csin(A?B)sin2A2sinAcosA??asinAsinAsinA ∴ ≥＝2cosA c ∴ a≥2cosA

∵ 2A≤60°

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∴ 0°＜A≤30°

3 ∴ cosA≥cos30°＝2

c3 ∴ a≥2·2

c ∴ a≥3

∴ 最长边与最短边之比不小于3

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