精选2019高考数学二轮复习专题二立体几何第1讲空间中的平行与垂直学案

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第1讲 空间中的平行与垂直

[考情考向分析] 自从江苏实施新课标以来，命题者严格执行江苏高考对立体几何的考试说明要求，大幅度降低难度，命题的焦点是空间平行与垂直．试题总体在送分题的位置，但是对考生的规范答题要求比较高．

热点一 空间线面关系的判定

例1 (1)若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线有________条． 答案 无数

(2)(2018·江苏泰州中学调研)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为________．(填序号) ①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 答案 ③④

解析 可以借助长方体进行判断，①中的a，b也可能相交或异面；②中的α，β可能相交，③④正确．

思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1

如图，平面α与平面β相交于BC，AB?α，CD?β，点A?BC，点D?BC，则下列叙述正确的是________．(填序号)

①直线AD与BC是异面直线； ②过AD只能作一个平面与BC平行； ③过AD只能作一个平面与BC垂直；

④过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行．

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答案 ①②④

解析 由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面β内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面α，则过AD的平面都与BC垂直，因此③错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行．故①②④正确． 热点二 直线与平面的平行与垂直

例2 (2018·江苏扬州中学调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．

(1)求证：FG∥平面PBD； (2)求证：BD⊥FG.

证明 (1)连结PE，因为G，F分别为EC和PC的中点，

∴FG∥PE，

又FG?平面PBD，PE?平面PBD， ∴FG∥平面PBD.

(2)∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC， 又PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA， ∵PA?平面PAC，AC?平面PAC， 且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC， ∵FG?平面PAC，∴BD⊥FG.

思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，

l⊥α，a?α?l⊥a.

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跟踪演练2 (2018·苏锡常镇四市调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．

(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD； (2)求证：CE∥平面PAD.

证明 (1)取BD的中点O，连结CO，PO，

因为CD＝CB，

所以△CBD为等腰三角形， 所以BD⊥CO.

因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO. 又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO， 所以BD⊥平面PCO.

因为PC?平面PCO，所以PC⊥BD.

(2)由E为PB的中点，连结EO，则EO∥PD，

又EO?平面PAD，PD?平面PAD， 所以EO∥平面PAD.

由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD， 又CO?平面PAD，AD?平面PAD， 所以CO∥平面PAD.

又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE， 所以平面CEO∥平面PAD，

而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD. 热点三 平面与平面的平行与垂直

例3 (2018·江苏盐城中学模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，点Q是A1B1中点．