2019届高三数学二轮专题复习文档：专题二数列 第2讲 数列求和及综合应用 Word版含解析

7.记Sn为正项数列{an}的前n项和，且an＋1＝2Sn，则S2 018＝________. 解析 由题意得4Sn＝(an＋1)2，① 当n＝1时，4a1＝(a1＋1)2，a1＝1， 当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2，②

2

①－②得a2n－an－1－2(an＋an－1)＝0，

所以(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0， 又an>0，所以an－an－1＝2，

则{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.

2 018（1＋2×2 018－1）2所以an＝2n－1，S2 018＝＝2 018.

2答案 2 0182

8.(2018·贵阳质检)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{an}中，an＝[lg n]，n∈N＋，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝________.

解析 当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0. 当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1. 当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2. 当1 000≤n≤2 018时，an＝[lg n]＝3. 故S2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947. 答案 4 947 三、解答题

9.(2018·济南模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝2n2＋n，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝

1

，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1

解 (1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1. 又a1＝3满足上式. 所以an＝4n－1(n∈N*).

1?111?1

－?. (2)bn＝＝＝?

anan＋1（4n－1）（4n＋3）4?4n－14n＋3?

所以

1??1??11??11??1

Tn＝4??3－7?＋?7－10?＋…＋?4n－1－4n＋3??

????????1?1?1n－??＝434n＋3＝. ??12n＋9

10.(2018·南昌调研)已知数列{an－n}是等比数列，且a1＝9，a2＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an－n2}的前n项和Sn. 解 (1)设等比数列{an－n}的公比为q， 则q＝

a2－26－2

＝＝2. a1－13－1

从而an－n＝(3－1)×2n－1，故an＝(n＋2n)2. (2)由(1)知an－n2＝n·2n＋1＋4n. 记Tn＝22＋2·23＋…＋n·2n＋1，

则2Tn＝23＋2·24＋…＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2， 两式作差，得

－Tn＝22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2 ＝2n＋2－4－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－4， ∴Tn＝(n－1)·2n＋2＋4，

n＋1

4－4n＋14＋8n＋2

故Sn＝Tn＋＝(n－1)·2＋3. 1－4

11.若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

an＋1

(2)设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ

bn＋12

n－1对一切

n

n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.

解 (1)∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1. ∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又数列{an}是公差为2的等差数列， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. ∴2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，

∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. ∴bn＝2n－1.

(2)由数列{cn}满足cn＝

an＋12nn

＝2n＝n－1， bn＋12

数列{cn}的前n项和为 23n

Tn＝1＋2＋22＋…＋n－1，

2n－1n112

∴2Tn＝2＋22＋…＋n－1＋2n，

2两式作差，得

11－2n1111nn∴2Tn＝1＋2＋22＋…＋n－1－2n＝－12n 2

1－2n＋2n＋2＝2－2n，∴Tn＝4－n－1.

2不等式(－1)nλ

n2

n－1，化为(－1)nλ<4－2

n－1，取

， 2n－12

n＝2k(k∈N*)时，λ<4－

*

2

n＝2，∴λ<3.

n＝2k－1(k∈N)时，－λ<4－

，取n＝1，∴λ>－2. 2n－12

综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).