当前位置：首页 > 2019届高三数学二轮专题复习文档：专题二数列 第2讲 数列求和及综合应用 Word版含解析
解 (1)∵{an}为等差数列，
4×3
??S4＝4a1＋2d＝24，?a1＝3，∴?解得?
7×6d＝2.?
S＝7a＋d＝63，71??2因此{an}的通项公式an＝2n＋1.
(2)∵bn＝2an＋(－1)n·an＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1) ＝2×4n＋(－1)n·(2n＋1)，
n
8（4－1）
∴Tn＝2×(41＋42＋…＋4n)＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n(2n＋1)]＝＋
3
Gn.
n
当n为偶数时，Gn＝2×2＝n， 8（4n－1）∴Tn＝＋n；
3
n－1
当n为奇数时，Gn＝2×2－(2n＋1)＝－n－2， 8（4n－1）∴Tn＝－n－2，
3
8（4n－1）??3＋n （n为偶数），∴Tn＝?
8（4n－1）??3－n－2 （n为奇数）.
探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 考法2 裂项相消法求和
【例2－2】(2018·郑州调研)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2＋5n. (1)求证：数列{3an}为等比数列； (2)设
?n?
bn＝2Sn－3n，求数列?ab?的前
?nn?
n项和Tn.
(1)证明 ∵Sn＝2n2＋5n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n＋3. 又当n＝1时，a1＝S1＝7也满足an＝4n＋3.
故an＝4n＋3(n∈N*).
3an＋1
由an＋1－an＝4，得3an＝3an＋1－an＝34＝81. ∴数列{3an}是公比为81的等比数列. (2)解 ∵bn＝4n2＋7n，
1?n11?1－?， ∴ab＝＝?
nn（4n＋3）（4n＋7）4?4n＋34n＋7?11?1?1111
－＋－＋…＋－∴Tn＝?7111115 4n＋34n＋7?4??1?1?1n
＝4?7－4n＋7?＝. ??7（4n＋7）
探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.
2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
【训练2】(2018·成都二诊)设正项等比数列{an}，a4＝81，且a2，a3的等差中项3
为2(a1＋a2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3a2n－1，数列{bn}的前n项和为Sn，数列{cn}满足cn＝数列{cn}的前n项和，若Tn<λn恒成立，求λ的取值范围. 解 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
3
?a4＝a1q＝81，?a1＝3，
由题意，得?解得? 2
?a1q＋a1q＝3（a1＋a1q），?q＝3.
1
，Tn为4Sn－1
所以an＝a1qn－1＝3n.
(2)由(1)得bn＝log332n－1＝2n－1， n（b1＋bn）n[1＋（2n－1）]2Sn＝＝＝n
22∴cn＝
1?11?1
－??， ＝
4n2－12?2n－12n＋1?
1??1??11?1???1
∴Tn＝2??1－3?＋?3－5?＋…＋?2n－1－2n＋1??
????????
n＝. 2n＋1
n1
若Tn＝<λn恒成立，则λ>(n∈N*)恒成立，
2n＋12n＋1
1?1?则λ>?2n＋1?，所以λ>3. ??max考法3 错位相减求和
【例2－3】(2018·潍坊一模)公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝10，且a1，a3，a9成等比数列. (1)求{an}的通项公式；
?an?
(2)求数列?3n?的前n项和Tn.
?
?
解 (1)设{an}的公差为d，由题设
?4a1＋6d＝10，?4a1＋6d＝10，得?2∴? 2
a9，?a3＝a1·?（a1＋2d）＝a1（a1＋8d）.解之得a1＝1，且d＝1. 因此an＝n.
n
(2)令cn＝3n，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn n－1n123
＝3＋32＋33＋…＋n－1＋3n，①
3n－1112n
Tn＋n＋1，② n＝2＋3＋…＋333331?2n?11
①－②得：3Tn＝?3＋32＋…＋3n?－n＋1 ??3
1?1?
?1－3n?3??n11n＝－＝－－n＋
133n＋1， 3n122×1－332n＋3∴Tn＝4－4×3n.
探究提高 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.
2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
【训练3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
（an＋1）n＋1
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
（bn＋2）n解 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式.所以an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为d，
?a1＝b1＋b2，?11＝2b1＋d，由?即? a＝b＋b，17＝2b＋3d，?2?231?b1＝4，可解得?所以bn＝3n＋1.
?d＝3.
（6n＋6）n＋1
(2)由(1)知cn＝2n＋1.， n＝3(n＋1)·（3n＋3）又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]. 两式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] 4（1－2n）?n＋2?4＋－（n＋1）×2??＝－3n·＝3×2n＋2.
1－2??所以Tn＝3n·2n2.
＋
热点三 与数列相关的综合问题
1
【例3】 设f(x)＝2x2＋2x，f′(x)是y＝f(x)的导函数，若数列{an}满足an＋1＝f′(an)，且首项a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n
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