海南省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析

曲线y＝lnx，则有y′＝；

曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线方程为：y﹣lnx0＝即：y＝即：y＝

x﹣1+lnx0 x+

x

（x﹣x0）

，

）处的切线方程为：y﹣

＝

（x﹣ln

x

而曲线y＝e的切线在点（ln即：y＝故得证．

x+

），

，故曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝e的切线．

【点评】本题考查f（x）的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明． 21．【分析】（1）利用直接法不难得到方程；

（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1； （ii）利用S＝函数可得最值．

【解答】解：（1）由题意得整理得曲线C的方程：

， ，

，代入已得数据，并对

换元，利用“对号”

∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；

（2）

（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0）， E（x0，0），G（xG，yG），

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∴直线QE的方程为：，

与得

联立消去y，

，

∴，

∴，

∴＝，

∴

＝

＝

＝，

把代入上式，

得kPG＝

＝

＝﹣，

∴kPQ×kPG＝

＝﹣1，

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∴PQ⊥PG，

故△PQG为直角三角形； （ii）S△PQG＝＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

令t＝，则t≥2，

S△PQG＝

＝

利用“对号”函数f（t）＝2t+在[2，+∞）的单调性可知， f（t）

（t＝2时取等号），

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∴＝（此时），

故△PQG面积的最大值为．

【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤为突出，难度大．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．【分析】（1）把θ0＝

直接代入ρ＝4sinθ即可求得ρ0，在直线l上任取一点（ρ，θ），

利用三角形中点边角关系即可求得l的极坐标方程；

（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案． 【解答】解：（1）当θ0＝

时，

， ，

；

在直线l上任取一点（ρ，θ），则有故l的极坐标方程为有

（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ＝4cosθ， ∵P在线段OM上，∴θ∈[

，

]，

，

]．

故P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[

【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基础题．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．【分析】（1）将a＝1代入得f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分x＜1和x≥1两种情况讨论f（x）＜0即可；

（2）根据条件分a≥1和a＜1两种情况讨论即可．

【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），

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