高中数学：第二章 平面向量231 Word版含答案

ruize

→

AB→

解析 为AB方向上的单位向量，

→|AB|→

AC→

为AC方向上的单位向量， →|AC|

→→ABAC→则＋的方向为∠BAC的角平分线AD的方向． →→|AB||AC|又λ∈(0，＋∞)，

→→→→?ABAC?ABAC＋所以λ?的方向与＋的方向相同． →→?→→?|AB||AC|?|AB||AC|→→?ABAC?→→

＋而OP＝OA＋λ?， →→??|AB||AC|?→

所以点P在AD上移动，

所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心．

7．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r>0)，则a与b的夹角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 考点 平面向量的夹角求向量的夹角 题点 求向量的夹角 ★答案★ C 二、填空题

8．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c＝________.(用a，b表示) 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 ★答案★ 2a－2b 解析 设c＝λa＋μb，

则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2) ＝(λ＋2μ)e1＋(λ－μ)e2， 因为e1，e2不共线，

?－2＝λ＋2μ，?λ＝2，??所以?解得?

??4＝λ－μ，μ＝－2，??

故c＝2a－2b.

9．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________.(填“共线”或“不共线”)

ruize

考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 ★答案★ 不共线 不共线

解析 ∵e1，e2不共线，λ1＞0，λ2＞0， ∴a与e1，e2都不共线．

→→→

10．如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设MA＝a，MB＝b，则MC＝________.(用a，b表示)

考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 15

★答案★ a＋b

66

1→5→15→→→→5→→5→→

解析 MC＝MA＋AC＝MA＋AB＝MA＋(MB－MA)＝MA＋MB＝a＋b.

666666

11．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________． 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 ★答案★ (－∞，4)∪(4，＋∞)

解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.

三、解答题

DC→→→→

12．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设AD＝e1，AB＝

AB

ruize

→→→

e2，以e1，e2为基底表示向量DC，BC，MN. 考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 解 方法一 如图所示，

DC→

∵AB＝e2，且＝k，

AB→→

∴DC＝kAB＝ke2.

→→→→

又∵AB＋BC＋CD＋DA＝0，

→→→→→→→∴BC＝－AB－CD－DA＝－AB＋DC＋AD ＝e1＋(k－1)e2.

→→→→

又∵MN＋NB＋BA＋AM＝0， 1→→1→→

且NB＝－BC，AM＝AD，

22

1→→1→→→→→

∴MN＝－AM－BA－NB＝－AD＋AB＋BC

22＝k＋1

e. 22

方法二 如图所示，过C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F.

ruize

→

同方法一可得DC＝ke2.

→→→→→→

则BC＝BE＋EC＝－(AB－DC)＋AD＝e1＋(k－1)e2， →→→→1→→1→→MN＝MF＋FN＝DC＋EB＝DC＋(AB－DC)

22＝k＋1

e. 22

方法三 如图所示，连接MB，MC.

→

同方法一可得DC＝ke2， →

BC＝e1＋(k－1)e2. →1→→由MN＝(MB＋MC)，

2→1→→→→得MN＝(MA＋AB＋MD＋DC)

2