高中数学：第二章 平面向量231 Word版含答案

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→→→→

则OC＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b， →→

BC＝OA＝a.

因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形， 所以∠OAB＝60°＝∠ABC， 即a－b与a的夹角β＝60°.

因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形， 所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°， 即a＋b与a的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.

反思与感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.

1→→

跟踪训练3 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则AB与BC的夹角是( )

2A．30° B．60° C．120° D．150° 考点 平面向量的夹角求向量的夹角 题点 求向量的夹角 ★答案★ C

→→→→

解析 如图，作向量AD＝BC，则∠BAD是AB与BC的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，1

BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.

2

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1．给出下列三种说法：

①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 其中，说法正确的为( )

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 ★答案★ B

2.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：

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→→→→→→→→①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB. 其中可作为该平面内所有向量的基底的是( ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 考点 平面向量基本定理 题点 基底的判定 ★答案★ B

→→→→

解析 ②中DA与BC共线，④中OD与OB共线，①③中两向量不共线，故选B.

3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.

考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 ★答案★ －15 －12 解析 ∵向量e1，e2不共线，

?2x－3y＝6，?x＝－15，??∴?解得? ??3x－4y＝3，y＝－12.??

12→→→4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，

23λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 考点 平面向量基本定理的应用 题点 利用平面向量基本定理求参数 1

★答案★

2→→→

解析 DE＝DB＋BE

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1→2→＝AB＋BC 231→2→→＝AB＋(AC－AB) 231→2→＝－AB＋AC，

63→→

又∵AB与AC不共线，

12121

∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.

63632

→→→

5．在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以CB＝e1，CA＝e2为基底表示CF.

考点 平面向量基本定理 题点 用基底表示向量 →→→

解 AB＝CB－CA＝e1－e2，