a全等三角形之手拉手模型、倍长中线截长补短法

手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形：

例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD，证明 （1）?ABE??DBC

(2)AE与DC之间的夹角为60? (3)BH平分?AHC

变式精练1：如图两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD，

证明（1）?ABE??DBC （2）AE与DC之间的夹角为60?

（3）AE与DC的交点设为H,BH平分?AHC

变式精练2：如图两个等边三角形?ABD与?BCE，连结AE与CD， 证明（1）?ABE??DBC (2）AE与DC之间的夹角为60?

(3）AE与DC的交点设为H,BH平分?AHC

例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H 问：（1）?ADG??CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分?AHE？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,CE,二者相交于点H 问：（1）?ADG??CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分?AHE？

例4：两个等腰三角形?ABD与?BCE，其

AB?BD,CB?EB,?ABD??CBE??,连结

中

AE与CD，

问：（1）?ABE??DBC是否成立？ （2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？ （4）HB是否平分?AHC？

例5：如图，点A. B. C在同一条直线上，

分别以

AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明

你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数

倍长与中点有关的

线段

倍长中线类

?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而

达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 A△ABC中 方式1： 延

长AD到E，

BDC AD是BC边中线 使

EDE=AD，

连

接BE

方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F， 延长MD到N，

作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，

连

连接CD

接

BE

【例1】 已知：?ABC中，AM是中线．求证：AM?1(AB?AC)．

2【练1】在△ABC中，AB?5，AC?9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在?ABC的AB边上取两点E、F，使AE?BF，连接CE、CF，求证：AC?BC?EC?FC．

【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短) 【例2】 如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF?EF，求证：AC?BE．

【练1】如图，已知在?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE?AC，延长BE交AC于F，求证：AF?EF

【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G. 求证：BF=CG.

【练3】如图，在?ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG?CF，求证：AD为?ABC的角平分线．

【练4】如图所示，已知?ABC中，AD平分?BAC，E、F分别在BD、AD上．DE?CD，EF?AC．

求证：EF∥AB

【例3】已知AM为?ABC的中线，?AMB，?AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BE?CF?EF．

【练1】在Rt?ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足?DFE?90?．若AD?3，BE?4，则线段DE的长度为_________．

【练2】如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分BC且AD⊥AC，则∠BAC=______.

N分别为AB、AC上的点，【练3】在?ABC中，点D为BC的中点，点M、且MD?ND．

（1）若?A?90?，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

（2）如果BM2?CN2?DM2?DN2，求证AD2?1?AB2?AC2?．

4【例4】如图，等腰直角?ABC与等腰直角?BDE，P为CE中点，连接PA、PD.

探究PA、PD的关系.（证角相等方法） 【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.

探究AP与EF的数量关系和位置关系.（证角相等方法）

【练2】如图，在?ABC中，CD?AB，?BAD??BDA，AE是BD边的中线.求证：