第一章角的概念的推广学案

高中数学 必修3 第一章基本初等函数（Ⅱ） 学案 班级_______________姓名___________________

§1.1.1角的概念的推广

学习目标 1. 理解任意角、象限角的概念，会用集合语言表示终边相同的角； 2. 通过学习，培养学生的类比思维能力、形象思维能力；

3. 通过对任意角的概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识.用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质. 重点难点 重点：任意角的概念，用集合表示终边相同的角. 难点：角的概念的推广，终边相同的角之间的关系.

学法指导 通过回忆已有知识和观察日常生活中的实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.

知识链接 回忆初中所学的角的定义,任意角概念的学习为以后三角函数的建立做好了准备. 问题探究 探究1：任意角的概念

1．初中时，我们已学习了0??360?角的概念，它是如何定义的呢？

(1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条 所组成的图形.

(2)角可以看成平面内的一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角?.旋转开始时的射线OA叫做角的 ，OB叫做角的 ，射线的端点O叫做叫做角的 . 以上两种定义方式哪一种更科学、合理?为什么?

2.在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可简记为?. 探究2：象限角

在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

1

角的顶点与 ___重合，角的始边与_____轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是________________.如30?角、?210?角分别是第______象限角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为__________. 探究3：终边相同的角

将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?

一般地,我们有:所有与角?终边相同的角,连同角?在内,可构成一个集合______________________________,即任一与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和.

典型例题 例1. 在0??360?范围内，找出与－950?12'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：

0?－360?是指0????360?）

例2.写出终边在y轴上的角的集合.

拓展：你能写出终边在x轴上，终边坐标轴上的角的集合吗？第一、二、三、四象限角的集合呢？

例3.写出终边在直线y?x上的角的集合S,并把S中适合不等式?360????720?的元素?写出来.

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拓展：你能写出终边在在直线y=-x上的角的集合吗？

??例4.若角?是第一象限角，判断2?，，各是第几象限角.

23 目标检测 1. 下列说法正确的有几个（ ）.

（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于 90°的角是锐角；（4）0°～90°的角是锐角. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个

2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边在 x 轴的非负半轴上，则角8850是第（ ）象限角.

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

５． 若 α 与 β 的终边互为反向延长线，则有（ ）. Ａ．????1800 Ｂ．????1800

Ｃ．???? Ｄ．?????2k?1??1800,k?Z ６．钟表经过 4 小时，时针与分针各转了_______，________. (填度数)

1840°终边相同的最小正角为_______，与－1840°终边相同的最小正角是 _ . ７．与

８．将下列各角表示为??k?3600k?Z,00???3600的形式，并判断角在第几象限．

９．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式?7200???7200的元素?写出来．

（１）?2100； （２）1342051?．

10.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?此时它们所成的角为多少?

2

??（１）560024?； （２）?560024?．

3．若A?aa?k?3600,k?Z;B?aa?k?1800,k?Z;C?ak?900,k?Z.则下列关系正确的是（ ）．

Ａ．A?B?C Ｂ．A?B?C Ｃ．A?B?C Ｄ．A?B?C

??????４．若?是第四象限角，则1800??是（ ）．

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总结反思 本节课我们主要学习了：1.任意角包括正角、负角、零角；2. 象限角与轴线角；

3.终边相同的角.

作业布置 1. 练习A组第1,,3,４，6题． 2. 结合导学案预习§1.1.2 弧度制．

§1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

学习目标 1．（1）理解弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的换算； （2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；

（3）理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.

2.通过弧度制的学习,理解并认识到角度制和弧度制都是对角度量的方法, 二者是辨证统一的，不是孤立、割裂的关系．经历用类比方法学习新知识的过程，认识类比方法的重要性． ３．通过对现实生活中一些量的不同单位制的度量，引发学生学习弧度制的兴趣．

把长度等于_______的_____所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号_____表示. 读作弧度．今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或单位符号“rad”可以省略不写， 如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦．

(2) 如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角?的终边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格.

OB旋转的方?AOB的弧度?AOB的度弧AB的y长 向 数 数 B?r 逆时针方向 ?A2?r 逆时针方向 xOr 1 2r ?2 ?? 0 180 180 角有______、______、______之分，它的弧度数也应该有正、负、零之分.一般地, 正角的弧度数是一个_______，负角的弧度数是一个_______，零角的弧度数是_______. (3) 如果一个半径为r的圆的圆心角?所对的弧长是l,那么a的弧度数是多少?

角?的弧度数的绝对值是：___________，其中，?的正负由角?的终边的旋转方向来决定. 探究2：弧度与角度的换算

??rad, 360?=_____ rad, 180?=_____ rad, 1?=_____rad?0.01745 重点难点 重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 1rad?_____??_____??57?18' 难点：理解弧度制定义，弧度制的运用.

特殊角的角度数与弧度数的对应值表：

学法指导 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了

弧度 弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与

弧度制的互化.

角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 知识链接 弧度 角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180

探究3：弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式 度，直角等于90度等等.

112l??RS??RS?lR. (1); (2); (3) 问题探究 22探究1：

其中R是半径,l是弧长,?(0???2?)为圆心角,S是扇形的面积.你会推导吗？ (1)弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧

度？请看课本P7-P8，自行解决上述问题.

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探究4：角的集合与实数集R的对应关系

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了_________关系：即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的 一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应．

典型例题 例1.按照下列要求,把67?30'化成弧度:

（１）精确值；（２）精确到0.001的近似值.

例2.将3.14rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001).

例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

(1)l??R; (2)S?112?R2; (3)S?2lR.

其中R是半径,l是弧长,?(0???2?)为圆心角,S是扇形的面积.

例4.利用计算器比较sin1.5和sin85?的大小.

目标检测 1.下列各对角中终边相同的角是（ ）.

A．?2和??2?2k?(k?Z) B.??2和223 C.?7?11?20?122?9和9 D.3和9

2. 时钟经过一小时，时针转过了（ ）.

A.

??6rad B.?6rad C.

?12rad D.??12rad

3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶2，则两个扇形周长的比为（ ）. A.1:2 B.1:4 C.1:2 D1:8 4. 下列命题中正确的命题是（ ）. A. 若两扇形面积的比是 1∶4，则两扇形弧长的比是 1∶2. B. 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值. C. 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值. D. 任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系. 5. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是 4R，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）. A.

12?2?sin1cos1??R2 B.12sin1cos1?R2 C.12R2 D.?1?sin1cos1??R2 6. 若?? ＝－216°， l???7?? ，则r ＝ _______(其中扇形的圆心角为?? ，弧长为l ，半径

为 r ).

7. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 _____. 8. （1）把112??30 ' 化成弧度制； （2）把?5?12化成角度制. 9. (1)sin????3tan3?tan?6cos6?tan?4cos2; (2)asin?3?bcos?4?ctan0.

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