2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷

如图，在△??????中，内角??，??，??的对边分别为??，??，??，若??=4√5，??＝5，??＝2??，则cos??＝________，点??为边????上一点，且????＝6，则△??????的面积为________．

【答案】

2√5,10 5

【考点】 余弦定理 【解析】

由已知结合正弦定理可求cos??，然后结合二倍角关系可求sin??，结合三角形的面积公式及等高三角形的面积比可转化为底的比可求． 【解答】

因为??=4√5，??＝5，??＝2??， 由正弦定理可得，sin??=sin??， 所以

4√5sin2??

??

??

=

5sin??

=

4√5，

2sin??cos??

则cos??=

2√5；sin??＝2sin??cos??＝25

12

45

×

2√5√5×55

=，

5

4

∴ ??△??????=×5×6×=12， 由余弦定理可得，cos??=

2√55

=

??2+80?258√5??，

解可得??＝5（舍）或??＝11， 所以??△??????=????=5，

△??????

??????6

∴ ??△??????=×12=10．

6

5

已知??是椭圆??:

??24

+

??23

=1的左焦点，??，??是椭圆??上的两个相异动点，若????中点的

横坐标为1，则??到直线????距离的最小值为________． 【答案】

√15 2【考点】 椭圆的离心率 【解析】

分直线????的斜率存在和不存在两种情况讨论，由于同一点对称性设斜率大于0，与椭圆联立求出两根之和，再由????的中点的横坐标求出参数之间的关系，由点到直线的距离公式求出??到直线???? 距离．令参数部分为函数，求导，由函数的单调性求出函数的最大值，进而求出??到直线????的最小值． 【解答】

试卷第9页，总20页

由题意的方程可得：??(?1,?0)，若直线????的斜率不存在时，则由题意可得????的方程为：??＝1，这时??到直线????的距离为2，

当直线????的斜率存在且不会为0时，由题意的对称性设??>0，设方程为??＝????+??，??(??1,???1)，??(??2,???2)，

??=????+??

联立直线与椭圆的方程可得：{2 ，整理可得：(3+4??2)??2+2

3??+4???12=08??????+4??2?12＝0，

△＝64??2??2?4?(3+4??2)(4??2?12)>0，即??2<3+3??2，??1+??2=???1??2=

4??2?123+4??28????3+4??2，，

8????3+4??|?

2=2，即??=?

因为????中点的横坐标为1，所以?所以??到直线????的距离??=√

64(??4+??2)?16??2+9

??4+??2

16??2?9

1

|?????|√1+??3+4??24??1

64??4+48??2+9

??4+??2=23+4??2

???|4??√1+??2=

3+8??24√??4+??=4?√2=4?

1

=4?√64?

16??2?9??4+??2

，

(??4+??2)2令??(??)=

，??>0，??′(??)=??4+??2√6，??′(??)2

16??(??4+??2)?(16??2?9)(4??3+2??)

=

?2??(2??2?3)(8??2+3)

(??4+??2)2，

当0所以∈

>0，??(??)单调递增，

√6，??′(??)2

<0，??(??)单调递减，

=

16??993+4232√6√6(0,?+∞)时??(2)最大，且??(2)1

√152

=4，

所以??=4√64?4=

→→

<2，

已知向量??,??满足|2??+??|=1，且???(?????)=1，则|?????|的取值范围为________． 【答案】

√13?1√13+1

,?] 22【考点】

平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 [

由|2??+??|=1和???(?????)=1，求得??2和?????的值，以及??2的取值范围，再求(?????)的取值范围，即可得出|?????|的取值范围． 【解答】

由|2??+??|=1得4??2+4?????+??2=1，① 又???(?????)=1得????????=1，②

由①②得??2=8(5???2)，?????=8(?3???2)，

→

1

→

→

→

1

→

→

→

→

→2

→

→

→

→

→

→→

→

→

→2

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→→

→

→

→

试卷第10页，总20页

且|?????|≤|??||??|，

即(3+??2)≤√(5???2)×|??|，

8

8

1

→

1

→→

→→

→→

9???34??2+9≤0，

17?4√139

→

→

4

→

≤??2≤

→2

→

17+4√13； 9→2

→

→

→2

1

→2

1

→2

→2

9→2

118

所以(?????)=???2?????+??=8(5???)?4(?3???)+??=8??+

14?2√13所以

4

→

→

，

≤??+

8

9→2

118

≤

14+2√13， 4√13?1√13+1,?2]． 2

所以|?????|的取值范围是[

已知函数??(??)＝??3?3??2+????(??<0,???∈??)，若函数??(??)有三个互不相同的零点0，??1，??2，其中??1

【考点】

利用导数研究函数的极值 【解析】

由题意由题意可知，??1，??2是??2?3??+??＝0的根，且??1+??2＝3，??1???2＝??<0，从而可知??<0，??1<0

因为??(??)＝??3?3??2+????＝??(??2?3??+??)，

由题意可知，??1，??2是??2?3??+??＝0的根，则??1+??2＝3，??1???2＝??<0，△＝9?4??>0，

∴ ??<0，??1<0

当??1<0

则存在??(??)的极大值点??1∈(??1,?0)，且???=3??12?6??1，

32

由题意，??(??)max＝??(??1)＝??1?3??1+????1≤??+14，

将???=3??12?6??1，代入得(??1?3)3≥?8，解可得?1≤??1<0． 又因为???=3??12?6??1，结合二次函数的性质可知，0

三、解答题（共5小题，满分74分）

已知函数??(??)=??sin(????+??)(??∈??,??>0,??>0,0

(Ⅱ)求函数??(??)=??(???12)???(??+12)的单调递增区间．

??

??

??

试卷第11页，总20页

【答案】

（1）由图知，??＝2． ??＝??，??=

2????

=

2????

=2，

1

由2sin(2×0+??)＝1，即sin??=2， 又??∈(0,?2)，所以??=6 故??(??)＝2sin(2??+)．

6??

??

??

（2）??(??)＝??(???12)???(??+12)＝2sin[2(???12)+6]?2sin[2(??+12)+6]＝2sin2???2sin(2??+3) ＝2sin2???2×(?2sin2??+

1

√3cos2??) 2

??

??

????????????

＝sin2???√3cos2??＝2sin(2???3)， 由2?????≤2???≤2????+，??∈??，

2

3

2

??

??

??

得?????12≤??≤????+12，??∈??，

∴ ??(??)的单调递增区间是[?????12,?????+12]，??∈??．

【考点】

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】

（1）由图知，??＝2，由??＝??，可求得??，由2sin(2×0+??)＝1可求得??； （2）先化简??(??)，然后利用三角函数的单调性即可得到结论． 【解答】

（1）由图知，??＝2． ??＝??，??=

2????

??

5??

??5??

=

2????

=2，

1

由2sin(2×0+??)＝1，即sin??=2， 又??∈(0,?2)，所以??=6 故??(??)＝2sin(2??+6)．

（2）??(??)＝??(???12)???(??+12)＝2sin[2(???12)+6]?2sin[2(??+12)+6]＝

??

??

??

??

??

??

??

??

??

试卷第12页，总20页